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Bild Mathematik Bei h) soll da +- Wurzel aus 2 kommen und bei e) kommt 3 raus.

Bei beiden nach mehrmaligen Anwenden der Regeln von de L'Hospital komme ich nicht auf +- Wurzel 2.

Bei Aufgabe e) komme ich wenn auf 1/3.

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Hallo

Zu e)

                       

Bild Mathematik

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Wie kommst du beim 4ten Schritt auf -3/-2 ?

Ich würde hier den Zähler sin(2x) und den Nenner sin(2x) machen.

Ich habe den Zähler und Nenner getrennt abgeleitet

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h) ziehe den Grenzwert in die Wurzel:

[x^2+sin(x)^2]/x^2=1+sin(x)^2/x^2=1+0/0

Wende auf den 0/0 Term 2mal Hospital an:

erstes Mal: sin(x)*cos(x)/x=0/0

zweites Mal: (cos(x)^2-sin(x)^2)/1 -->1

Also ergibt sich im Grenzwert in der Wurzel 1+1=2--> √2 ist das Ergebnis

e) tan(φ)/(tan(3φ))=∞/∞

l'hospital anwenden gibt 1/cos^2(φ)/[3*1/cos^2(3φ)] =1/3*[cos(3φ)/(cos(φ))]^2

Ziehe den Grenzwert in die Potenz hinein:

zu untersuchen bleibt cos(3φ)/(cos(φ))=0/0

l'hospital: -3*(sin(3*φ)/sin(φ)) für φ--> π/2 ergibt sich für diesen Term dann 3

das müssen wir noch hoch 2 rechnen (da wir den Grenzwert reingezogen haben) und dann mit 1/3 noch multiplizieren -->          lim φ --> π/2 tan(φ)/(tan(3φ))=1/3*3^2=3

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Wie kann man denn den Grenzwert in die Wurzel ziehen ?
Ich muss hier doch die Wurzel ableiten und dann x^2+sin^2(x)

Ich habs jetzt mal gerechnet und komme tatsächlich auf sqrt(2). Warum kann ich hier die Wurzel nicht ableiten ?

Bei der Wurzelfunktion handelt es sich um eine stetige Funktion, das heißt, man kann den Grenzwert acuh in die Wurzel hineinziehen, das Endergebnis bleibt das gleiche.

Hier lim x-->0 √[x^2+sin^2(x)]/x 

Das x im Nenner kann auch geschrieben werden als √x^2

--> lim x-->0 √[x^2+sin^2(x)]/x =lim x-->0 √[(x^2+sin^2(x))/x^2]=lim x-->0 √[1+sin^2(x)/x^2]

jetzt der Schritt mit Grenzwert reinziehen:

lim x-->0 √[1+sin^2(x)/x^2]=√[lim x-->0   1+sin^2(x)/x^2]

Das habe ich dann berechnet. Bei Aufgabe e) habe ich das ähnlich gemacht, nur das dort keine Wurzelfunktion stand, sondern eine quadratische Funktion, diese ist auch stetig.

Wenn du die Wurzel mit nimmst in das l'hospital verfahren, reproduziert sich immer der Wurzel-Term per Ableitung. Das führt dann in eine Endlosschleife.

Ok Leute habs soweit verstanden denke ich nur bei der e) ist mir das jetzt nicht klar.
Ich kann doch bei der e) normal zähler und nenner ableiten ? Anschliessend noch Additionssatz angewendet und dann komm ich doch auch auf 3 oder was meinst dun jetzt mit stetig von x^2

das mit dem x^2 ist nicht so wichtig, damit habe ich nur gemeint,dass

lim φ--> π/2 [cos(3φ)/(cos(φ))]2 = [lim φ-->π/2  cos(3φ)/(cos(φ))]^2

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