Finde alle x und y Werte dieser Funktion:

Question

Aufgabe:

Finde alle x und y Werte dieser Funktion:

x²y + xy² + 1/3 y³ - 4y

Ableitungen sind:

df/dx = 2xy + y² (I)

df/dy = x² + 2xy + y² - 4  (II)

Problem/Ansatz:

Wenn ich zuerst eine Ableitung nach einer Variablen ausrechne und das Ergebnis in die andere Ableitung einsetze komme ich auf keine Ergebnisse, sprich ich finde nicht alle x und y Werte.

In der Musterlösung von der Aufgabe subtrahiert man (II) mit (I), so werden 2xy und y²  eliminiert. Das ergibt Sinn.

Ich verstehe nur nicht warum man das darf und woher man weiß, dass man diesen Schritt gehen muss.

Warum darf man eine Ableitung mit der anderen subtrahieren? Ich möchte gerne verstehen warum das geht und wie man erkennt, dass man das machen muss.

Danke schonmal für eine Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine partiellen Ableitungen kann ich bestätigen, würde sie aber gerne noch etwas umformen:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-x^2=(x+y)^2-x^2$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+2xy+y^2-4=(x+y)^2-4$$

Die kritischen Punkte finden wir dort, wo beide partiellen Ableitungen zugleich verschwinden. Aus der partiellen Ableitung nach $y$ folgt dann:$$0\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial y}=(x+y)^2-4\quad\implies\quad(x+y)^2=4$$Das können wir so beim Nullsetzen der partiellen Ableitung nach $x$ sofort verwenden:$$0\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial x}=(x+y)^2-x^2=4-x^2\quad\implies\quad x^2=4\quad\implies\quad x=\pm2$$

Die zugehörigen $y$-Werte sind:$$x=+2\implies(2+y)^2=4\implies2+y=\pm2\implies y=\pm2-2=\left\{\begin{array}{r}0\\-4\end{array}\right.$$$$x=-2\implies(-2+y)^2=4\implies-2+y=\pm2\implies y=\pm2+2=\left\{\begin{array}{r}4\\0\end{array}\right.$$

Wir haben also 4 kritische Punkte gefunden:$$K_1\left(2|-4\right)\quad;\quad K_2\left(2|0\right)\quad;\quad K_3\left(-2|0\right)\quad;\quad K_4\left(-2|4\right)$$

In deiner Musterlösung wurden die beiden partiellen Ableitungen als Gleichungssystem geschrieben:$$\begin{array}{c} && 2xy &+& y^2 &=& 0\\ x^2&+&2xy&+&y^2&=&4\end{array}$$Wenn man nun die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahiert, bekommt man $x^2=4$ bzw. $x=\pm2$.

Comments

Was soll die krankhafte Umwandlung mit binomischen Formeln. Du kannst die beiden Gleichungen einfach subtrahieren.

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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! :)

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@irgendwer:

Bist du Arzt?

Die Umwandlung kam mir beim Aufschreiben direkt in den Sinn. Wenn man das nicht sieht, kann man natürlich auch die Bauern-Methode über ein Gleichungssystem wählen. Das habe ich ja am Ende auch noch extra dazu geschrieben.

Answer 2

Das, was Du hingeschrieben hast, ist einfach nur ein Term und keine Funktion oder Gleichung. Was ist also gegeben, und was willst Du berechnen?

Comments

ohh meine natürlich

f(x,y) = x²y + xy² + 1/3 y³ - 4y

Man soll alle critical points errechnen, denke das heißt auf deutsch Extremstellen.

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f(x,y) ist gegeben

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Du sollst die beiden partiellen Ableitungen = 0 setzen und dann das System lösen. Wenn Du genau hinschaust geht das hier äußerst primitiv.