Gauß Algorithmus -1 Trick, Matrix

Question

Aufgabe:

Bemerkung II.5.15 (( -1 )-Trick):

Die Fundamentallösungen aus Proposition II. 5.14 erhalten wir wie folgt:
(i) Schreibe für $1 \leq i \leq r$ die $i$ -te Zeile der Matrix $T$ in Treppenform als $s_{i}$ -te Zeile in eine neue Matrix $S \in \mathbb{R}^{m \times m}$, deren übrige Zeilen Null sind,
(ii) Die von Null verschiedenen Spalten der Matrix $I_{m}-S$ sind die Fundamentallösungen.

die Aufgabe:

Text erkannt:

Mithilfe des -1-Tricks lässt sich jetzt die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ bestimmen, die is nämlich
$$\mathbb{L}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\left\{\lambda_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda_{3}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right): \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R}\right\}$$

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht genau wie ich nach dem Gauß hier den den -1 Trick anwenden soll und dann auf die Lösung kommen soll

Comments

Ich kenne den Trick in dieser Form:

Du bringst die Matrix zuerst auf STRENGE Zeilenstufenform.Das heißt:

1. Die Matrix muss in Zeilenstufenform sein.

2. Das erste Element $\neq 0$ einer Zeile muss $= 1$ sein. Das erreichst du einfach, indem du die ganze Zeile durch die Zahl die vorher da stand teilst.

3. Über all diesen 1er muss eine 0 sein. Also von unten nach oben die Zeilen addieren/subtrahieren um diese Elemente da wegzubekommen.

Das wurde schon gemacht:

$$A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

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Dann fügst du entweder Nullzeilen hinzu oder entfernst Nullzeilen, bis der vordere Koeffizienten-Teil quadratisch wird. Du musst also eine Nullzeile ergänzen:

$$A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

Jetzt steht vor dem Strich eine 5x5 Matrix.

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Anschließend sortierst du die Zeilen so, dass die "Zeilenanfangs"-Einser auf der Diagonalen liegen. Also in deinem Fall:

$$A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

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Die Diagonaleinträge = 0 ersetzt du durch eine -1:

$$A = \left( \begin{array}{ccccc|c} \color{red}{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{-1}& 0 \end{array} \right)$$

Die Spalten mir der -1 entsprechen den Basisvektoren des homogenen Lösungsraums.

In der letzten Spalte (also hinter dem Strich) steht eine spezielle Lösung.

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okay vielen dank, bis dahin habe ich alles verstanden, aber wieso wird für die Lösungsmenge die zweite Spalte als Vektor ausgelassen?

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Das ist glaub nicht anschaulich zu erklären, um das LGS zu lösen musst du aber nur wissen, dass du die -1 Spalten nehmen musst. Um den Algorithmus zu verstehen musst du dir den Beweis eurer Bemerkung II.5.15 anschauen! Beachte dabei aber, dass in eurem Algorithmus alle Ergebnisse *(-1) sind.

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Das ist zu erklären, und das ist auch zu beweisen (wie alles andere in der Mathematik auch).

Das ist auch kein "Trick", sondern eine beweisbare! Vorgehensweise. (Wie wäre es, wenn man auch andere Regeln einfach dumm-dämlich umbenennen würde: Trick des Pythagoras, Binomische Tricks, Trick des Thales, etc., etc.)

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Das ist zu erklären, und das ist auch zu beweisen (wie alles andere in der Mathematik auch). Das ist auch kein "Trick", sondern eine beweisbare! Vorgehensweise.

Ich habe nichts anderes behauptet!

Um den Algorithmus zu verstehen musst du dir den Beweis eurer Bemerkung II.5.15 anschauen!

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Danke für die Erklärung, so ergibt das Sinn, dass nur die -1 Spalten zur lösungsmenge gehören @MatHaeMatician

@irgendwer bei uns in der Vorlesung wurde dieses Verfahrne eben Trick genannt

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Und für die Umformung Deiner Matrix verwenden wir dann den Gauss-Trick und den Diagonalen-Trick.