Wie überprüft man ob es sich um eine ganzrationale Funktion handelt?

Question

a) f(x)=3x^5-4x+1/5                                                    b) f(x)=3x^5-4x+1/x                                               c) f(x)=wurzel 2                                                     d) f(x)=wurzel 2-3/wurzel x                                     Danke schonmal

Answer 1

Eine Funktion f heißt rational, wenn sich der Funktionsterm von f als Quotient zweier Polynome P ( x ) und Q ( x ) darstellen lässt, also die Form

f = P ( x ) / Q ( x ) hat. 

Ist Q ( x ) eine Konstante, also ein Polynom vom Grad 0, dann heißt f ganzrational, sonst gebrochen rational.

Somit gilt für die angegebenen Funktionen:

a) ganzrational

b) gebrochen rational, und zwar sowohl dann, wenn der Funktionsterm so aussieht:

f ( x ) =  ( 3 x ⁵ - 4 x + 1 ) / x

als auch dann wenn er so aussieht:

f ( x ) =  3 x ⁵ - 4 x + 1  / x

denn letzteres kann man schreiben als:

f ( x ) =  ( 3 x ⁶- 4 x ² + 1 ) / x

c) ganzrational, denn f ( x ) = Wurzel ( 2 ) kann geschreiben werden als Polynom vom Grade 0:

f ( x ) = Wurzel ( 2 ) * x ⁰

d) weder ganzrational noch gebrochenrational, da Wurzel ( x ) kein Polynom ist. Die Funktion ist gar keine rationale Funktion