Untervektorraum zeigen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

Sei = {x∈ ℝ⁴ ∶ x1 = x2 und  x3 = x4}. Beweisen oder widerlegen Sie, dass ein Untervektorraum von ℝ⁴ ist.

Problem/Ansatz:

Welche Rolle genau spielt hier das "und" ? Welchen unterschied würde es machen, wenn da anstatt und ein oder steht?

Ich habe es mal versucht:

Erstmal zeigen, dass M nicht leer ist:

da x1=x2 bzw. x1-x2=0 (nullvektor) und x3-x4=0, ist M nicht leer.

Dann a*u+b*v ∈M:

Sei a,b∈R

x1*a+x2*b= x1*(a+b), (da x1=x2), also element aus M? Analog würde man das für x3=x4 machen müssen.

Ist das überhaupt richtig?

Answer 1

Hallo,

M= {x∈ ℝ⁴ ∶ x1 = x2 und x3 = x4}

Das ist ein Untervektorraum, da es sich um eine Ebene durch den Ursprung handelt.

(Kann man auch so schreiben: $\vec{x}=(t,t,s,s);t,s \in \R$

Die dazugehörige Rechnung sehe dann so aus:

$a\vec{x_1}+b\vec{x_2}=(at_1+bt_2,at_1+bt_2,as_1+bs_2,as_1+bs_2) \in M$

Stünde in der Definition von M ein oder , wäre es kein UVR, denn es gilt dann

$(1,2,4,4),(1,1,2,3) \in M$aber $(1,2,4,4)+(1,1,2,3)=(2,3,6,7)\notin M$

Comments

Hallo,

Wie bist du auf den Vektor x gekommen? Also auf (t,t,s,s)?

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Wenn x_1 = x_2 gilt, dann sind der erste und der zweite Eintrag im Vektor gleich. Die kann man dann auch einfach t nennen. Dasselbe für den dritten und vierten Eintrag.

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Ach so, verstehe, danke dir :)