0 Daumen
555 Aufrufe

Aufgabe:

Sei V ein Q-Vektorraum mit Basis B={v1,v2,v3}. Die lineare Abbildung f:V->V ist definiert durch $$ f(v_1) = 6v_1 - 4v_2 -2v_3 \\ f(v_2) = 4v_1 - 2v_2 - 2v_3 \\ f(v_3) = 4v_1 - 4v_2 $$

(a) Zeigen Sie, dass B'={v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} eine Basis von V ist.

(b) Bestimmen Sie $$ D_{B',B'}(f) $$ und invertierbare Matrizen S und T mit $$ D_{B',B'}(f) = SD_{B,B}(f)T $$


Problem/Ansatz:

Habe leider keine Ahnung wie ich da vor gehe bei beiden Aufgaben.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Zeigen Sie, dass B'={v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} eine Basis von V ist.

Es reicht lineare Unabhängigkeit zu zeigen, da die Anzahl

gleich der Dimension ist.

Für lin. Unabh. Ansatz:

x*(v_1 - v_2)+y*(v_1 + v_2) + z*v3  = 0   (Nullvektor)

==>  (x+y)*v_1 + ( y-x)*v_2 +z*v3  = 0

wegen lin. Unabh. von v1,v2,v3 also

x+y=0 und y-x=0  und z=0

also x=y=z=0 .

==>  {v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} ist lin. unabh.

b)  Berechne die Bilder der "neuen" Basisvektoren

und stelle sie mit der "neuen" Basis dar:

f( v_1+v_2) =  2v_1 -2v_2

              = 2*(v_1-v2)

             = 2*(v_1-v2) + 0*(v_1+v_2) + 0*v_3

also ist die erste Spalte der Matrix klar:

2     ?    ?
0    ?     ?
0    ?     ?

entsprechend mit den anderen gibt es

2    8      4
0    2      8
0    -4      0

S und T sind die Matrizen für den

Basiswechsel, also

T =     1    1     0
        -1    1     0
         0     0      1

und S davon die Inverse.

Avatar von 287 k 🚀

Ich kann nicht alles soweit nachvollziehen. Du hast im endeffekt dein $$ D_{B',B}(f) $$ bestimmt indem du die linearität von f genutzt hast. Soweit so gut. Aber müsste nicht $$ D_{B',B'}(f) = D_{B,B'}(id_V)D_{B,B}(f)D_{B',B}(id_V) $$ sein? Dann bräuchten wir ja die Identitätsabbildung, also: $$ v_1 - v_2 = 1*v_1 - 1*v_2 \\ ... \\ $$ und somit hätten wir doch dann $$ D_{B',B}(id_V) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$das würde ja dann mit deiner Matrix T übereinstimmen, aber wozu braucht du $$ D_{B',B}(f) $$ ? Trotzdem vielen lieben Dank für den Ansatz. Das hat mir sehr geholfen! Nun weiß ich wie ich die Aufgaben berechne.

Ich habe doch bei der Matrix

2    8      4
0    2      8
0    -4      0

die Bilder der B ' Basisvektoren wieder

mit der Basis B ' dargestellt.

Also ist das die Matrix

D B',B' (f)

Die kannst du auch so erhalten, wie du es geschrieben

hast.

Achso ja, ich hatte mich versehen. Natürlich. Jetzt ist mir dein Vorgang auch klar. Danke.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community