Zeigen Sie, dass B'={v_1 - v_2, v_1 + v_2, v_3} eine Basis von V ist.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Q-Vektorraum mit Basis B={v1,v2,v3}. Die lineare Abbildung f:V->V ist definiert durch $$ f(v_1) = 6v_1 - 4v_2 -2v_3 \\ f(v_2) = 4v_1 - 2v_2 - 2v_3 \\ f(v_3) = 4v_1 - 4v_2 $$

(a) Zeigen Sie, dass B'={v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} eine Basis von V ist.

(b) Bestimmen Sie $$ D_{B',B'}(f) $$ und invertierbare Matrizen S und T mit $$ D_{B',B'}(f) = SD_{B,B}(f)T $$

Problem/Ansatz:

Habe leider keine Ahnung wie ich da vor gehe bei beiden Aufgaben.

Answer 1

Zeigen Sie, dass B'={v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} eine Basis von V ist.

Es reicht lineare Unabhängigkeit zu zeigen, da die Anzahl

gleich der Dimension ist.

Für lin. Unabh. Ansatz:

x*(v_1 - v_2)+y*(v_1 + v_2) + z*v3  = 0   (Nullvektor)

==>  (x+y)*v_1 + ( y-x)*v_2 +z*v3  = 0

wegen lin. Unabh. von v1,v2,v3 also

x+y=0 und y-x=0  und z=0

also x=y=z=0 .

==>  {v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} ist lin. unabh.

b)  Berechne die Bilder der "neuen" Basisvektoren

und stelle sie mit der "neuen" Basis dar:

f( v_1+v_2) =  2v_1 -2v_2

              = 2*(v_1-v2)

             = 2*(v_1-v2) + 0*(v_1+v_2) + 0*v_3

also ist die erste Spalte der Matrix klar:

2     ?    ?
0    ?     ?
0    ?     ?

entsprechend mit den anderen gibt es

2    8      4
0    2      8
0    -4      0

S und T sind die Matrizen für den

Basiswechsel, also

T =     1    1     0
        -1    1     0
         0     0      1

und S davon die Inverse.

Comments

Ich kann nicht alles soweit nachvollziehen. Du hast im endeffekt dein $$ D_{B',B}(f) $$ bestimmt indem du die linearität von f genutzt hast. Soweit so gut. Aber müsste nicht $$ D_{B',B'}(f) = D_{B,B'}(id_V)D_{B,B}(f)D_{B',B}(id_V) $$ sein? Dann bräuchten wir ja die Identitätsabbildung, also: $$ v_1 - v_2 = 1*v_1 - 1*v_2 \\ ... \\ $$ und somit hätten wir doch dann $$ D_{B',B}(id_V) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$das würde ja dann mit deiner Matrix T übereinstimmen, aber wozu braucht du $$ D_{B',B}(f) $$ ? Trotzdem vielen lieben Dank für den Ansatz. Das hat mir sehr geholfen! Nun weiß ich wie ich die Aufgaben berechne.

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Ich habe doch bei der Matrix

2    8      4
0    2      8
0    -4      0

die Bilder der B ' Basisvektoren wieder

mit der Basis B ' dargestellt.

Also ist das die Matrix

D _B',B' (f)

Die kannst du auch so erhalten, wie du es geschrieben

hast.

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Achso ja, ich hatte mich versehen. Natürlich. Jetzt ist mir dein Vorgang auch klar. Danke.