Integral berechnen Substitutionsregel?

Question

in der Aufgabenstellung steht, dass ich mithilfe der linaren Substitutionsregel das Integral ausrechnen soll. Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll noch die Substitutionsregel. Könnt ihr mir helfen? Bitte mit Erklärung.

Text erkannt:

c) \( \int \frac{1}{(3 x+2)^{2}} d x \)

Answer 1

Text erkannt:

c) \( \int \frac{1}{(3 x-2)^{2}} \cdot d x \)
\( 3 x-2=u \rightarrow x=\frac{u+2}{3}=\frac{1}{3} u+\frac{2}{3} \)
\( d x=\frac{1}{3} \cdot d u \)
\( \int \frac{1}{(3 x-2)^{2}} \cdot d x=\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot d u=\frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u^{2}} \cdot d u=\frac{1}{3} \cdot \int u^{-2} \cdot d u=-\frac{1}{3} \cdot u^{-1}=-\frac{1}{3 \cdot u} \)
\( \int \frac{1}{(3 x-2)^{2}} \cdot d x=-\frac{1}{3 \cdot(3 x-2)}+C=-\frac{1}{9 x-6}+C \)

Answer 2

hier ein Rechner mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Hallo,

in der Aufgabenstellung steht, dass ich mithilfe der linaren Substitutionsregel das Integral ausrechnen soll.

\( \int \frac{1}{(3 x+2)^{2}} d x \)

Setze z=3x+2

dz/dx= 3

dx=dz/3

Setze das in den Integrand ein :

= 1/3 ∫ 1/z^2 dz

=1/3 (-1/z) +C Resubstituiere

=1/3 *(-1/(3x+2))+C

=(-1)/(9x+6) +C

Answer 4

Aloha :)

Du kannst hier sehr leicht die Integrationsvariable von \(x\) zu \((3x)\) ändern und dann einfach \((3x)\) wie eine Variable behandeln.$$\int\!\frac{1}{(3x+2)^2}dx=\frac{1}{3}\!\int\!\frac{1}{(3x+2)^2}d(3x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{-1}{3x+2}+\text{const}=-\frac{1}{9x+6}+\text{const}$$