Zeigen Sie: Ist f stetig auf [0, a], so ist f auch stetig auf [−a, a].

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ R, a > 0 und f : [−a, a] → R eine ungerade Funktion (d.h. −f(x) = f(−x) für alle
x ∈ [−a, a]). Zeigen Sie: Ist f stetig auf [0, a], so ist f auch stetig auf [−a, a].

Answer 1

Hallo,

Diese Aussage können wir mittels Folgenargumenten beweisen.

Betrachten wir dazu den rechten Randpunkt \(a \in [-a,a]\). Da \(f\) auf dem Komaktum \([0,a]\) (gleichmäßig) stetig ist, ist \(-f\) an der Stelle \(a\) mit

\(-f(a)=f(-a)\)

stetig. Durch ein paar wenige Folgen- und Fortsetzungsargumente folgt nun die Stetigkeit auf dem erweiterten Kompaktum. \(\square\)

Die Argumentation überlasse ich dem Aufgabensteller