Stetigkeit von 2-dimensionalen Abbildungen: a) Sind f und g stetig, so auch(f , g) als Vektor stetig

Question

 

ich habe mir nun schon sehr lange den Kopf über untenstehende Aufgabe zerbrochen aber es kommt nichts dabei raus, leider. Es muss wohl mit Epsilon-Delta-Kriterium funktionieren und gedanklich macht es auch alles Sinn, ich weiß nur nicht, wie ich es zeigen kann.

Sei M ein metrischer Raum und f , g : M →R seien Abbildungen. Durch x ↦ (f(x) über g(x)) wird eine Abbildung (f über g): M →R² definiert. Betrachten Sie R² als metrischen Raum mit der Euklidischen Metrik und zeigen Sie:

a) Sind f und g stetig, so auch (f über g).
b) Ist (f über g)stetig, so sind auch f und g stetig.

Anmerkung : mit (f über g) ist nicht die Binomialdarstellung gemeint sondern eine Vektordarstellung. Wusste nicht, wie ich das hier darstellen kann.

 

Besten Dank für Tipps !

VG Seb

Comments

Könntest du die handgeschriebene Darstellung etwas erläutern?

Sie sieht aus wie ein Binomialkoeffizient. Mir ist allerdings nicht klar, wie ein Binomialkoeffizient definiert ist, dessen Parameter Funktionen sind ... ?

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Weil in dem Tag auf den metrischen Raum verwiesen wird ist hier denke ich der Abstand von f und g gefragt. Also eigentlich wohl d(f, g).

Wie man das jetzt zeigt, weiß ich momentan nicht. Eventuell kann man etwas mit der Dreiecksungleichung machen ...

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Eine Darstellung deiner Aufgabe mit einem Vektor habe ich hier von ein paar Tagen schon mal gesehen. Vielleicht ist sie ja schon beantwortet. Wenn du sie findest, bitte Link angeben.

Da der Abstand 2-dim als √((abstandf)^2 + (abstandg)^2 ) berechnet wird.

Gilt √((abstandf)^2 + (abstandg)^2 ) ≤ abstandf

und √((abstandf)^2 + (abstandg)^2 ) ≤ abstandg

Daher ist b) dann rel. trivial via die Definition der Stetigkeit beweisbar.

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@Lu: Meinst Du dies?

https://www.mathelounge.de/73643/aufgabe-stetigkeit-zeigen

Das ist glaube ich nicht weiter hilfreich.


Grüßle und guten Morgen ;).

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Ja. Genau. Leider kann ich das dort nicht mehr als Duplikat schliessen. Gruss zurück.

Was genau ich nun als spam markieren kann, dass nicht gleich alles verschwindet, ist mir nun nicht so klar.

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Ich auch nicht. Ist mir vorhin auch schon passiert ?(. Ich markiere es dort mal als Spam und verlinke.


Kannst Du diesen Post hier als "Spam" markieren? Damit Kai diesen löscht und über die Unmöglichkeit des Schließens Bescheid weiß.

Danke

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@Unknown: Hi, verstehe ich das Problem richtig, sobald ein Post als Spam markiert ist, kann er nicht mehr als Duplikat geschlossen werden? Bzw. wenn es schon eine Antwort gibt?

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Nein, ich glaube es ist der Zeitfaktor, der eine Rolle spielt.

Alles was älter als eine Woche ist, kann nicht mehr geschlossen werden.

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Ach ja, sehe ich gerade im Code :) ... machen wir 2 Wochen daraus.

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Ja, ich denke das passt^^. Alternativ bleibt ja noch der Spam-Button und ein Kommentar. So oft passiert das ja nicht. Und wir wissen jetzt Bescheid :).