Aloha :)
Wir sollen eine Kostenfunktion \(K(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(F(x,y)=\text{const}\) optimieren:$$K(x;y)=11x+10y\quad;\quad F(x;y)=3x^2+14xy+2y^2=3700$$Nach der Methode von Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion \(K(x;y)\) kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\quad;\quad\lambda\ne0$$Die beiden Gradienten$$\operatorname{grad}K(x;y)=\binom{11}{10}\quad;\quad\operatorname{grad}F(x;y)=\binom{6x+14y}{14x+4y}$$ müssen also parallel oder antiparallel sein. Das heißt, sie spannen keine Fläche auf. Und da die Determinante zweier 2-dim. Vektoren die von ihnen aufgespannte Fläche angibt, muss die Determinante aus den Gradienten verschwinden:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rr}11 & 6x+14y\\10 & 14x+4y\end{array}\right|=11(14x+4y)-10(6x+14y)=94x-96y\implies \underline{\underline{y=\frac{47}{48}x}}$$
Damit sind wir quasi fertig und brauchen diese Erkenntnis nur noch in die Nebenbedingung einzusetzen:
$$3700=3x^2+14x\left(\frac{47}{48}x\right)+2\left(\frac{47}{48}x\right)^2=\frac{21\,457}{1\,152}x^2\implies \boxed{x\approx14,094270}$$Die negative Lösung für \(x\) entfällt, weil es keine negativen Produktionsmengen gibt. Damit kriegen wir die gescuchte Komponente$$y=\frac{47}{58}x\approx\boxed{13,800640}$$
