Beweis zu Modulo: a = b mod n <=> a = b mod n_k

Question

Aufgabe:

Gegeben seien \( m_1,m_2, m_3, ...,m_k \in \mathbb{Z} \neq 0 \) und \( m \) ihr kleinstes gemeinsamstes Vielfaches.

Beweisen Sie: \( a \equiv b \mod m_k \ \forall  k = \{1, ..., k\} \Leftrightarrow a \equiv b \mod m \)

Problem/Ansatz:

Die Implikation "<=" lässt sich leicht mit der Transitivität einer Quasiordnung zeigen, aber bei "=>" komme ich irgendwie nicht weiter:

Es gilt ja \( m_k \mid (a-b) \) und \( m_k \mid m \) und zu zeigen ist, dass dann auch \( m \mid (a-b) \) gilt.

Damit gilt: (I) \( (a-b) = x*m_k \)

           (II) \( m = m_k * y \)

           (III) \( \prod m_i = m \)

Daraus folgt, dass \( (a-b) = \frac{mx}{y} \).

Wie komme ich jetzt auf \( (a-b) = m*z \)?

Ich brauche dringend Hilfe und würde mich wirklich über eine Antwort freuen.

Comments

Hallo,

ich Probleme mit dem, was Du aufgeschrieben hast, bin aber keine Experte: Sollten bei (i) und (ii) die Faktoren nicht von k abhängen? Bei (iii): Das kleinste gemeinsame Vielfache ist doch nicht das Produkt der mi (i.allg.)?

Im übrigen kommt es auf die Definition des kgV an: Die Voraussetzung besagt doch, dass (a-b) gemeinsames Vielfaches der mk ist. Und das kgV teilt jedes gemeinsame Vielfache.

Gruß