Falsches Integral in der Musterlösung?

Question

ich sitze gerade über Mathe und bin verwirrt. In der Musterlösung steht:

$$\int\frac{1}{(1-x)^2}dx=\frac{x}{1-x}$$

Aber die Ableitung von 1/(1-x) ist doch 1/(1-x)². Wieso steht da plötzlich ein x im Zähler?

Kann mir das vielleicht jemand erklären?

Danke schon mal

Hans

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\frac{1}{1-x}\right)'=\left(\frac{1}{1-x}-1\right)'=\left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right)'=\left(\frac{x}{1-x}\right)'$$Oder anders ausgedrückt, da steht ein unbestimmtes Integral. Die Integrationskonstante könnte auch \((-1)\) sein:$$\int\frac{1}{(1-x)^2}dx=\frac{1}{1-x}+\text{const}\stackrel{(\text{const}\coloneqq-1)}{=}\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}$$