Infimum und Supremum von Mengen: a) M1 = {x ∈ℝ: x= (n+1)/n für ein n∈ℕ} b) M2 = {x ∈ℝ: x= (n+1)/m für n,m∈ℕ}

Question

Bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

 

Bestimme (sofern sie existieren) Infimum und Supremum folgender Mengen:

a) M₁ = {x ∈ℝ: x= (n+1)/n für ein n∈ℕ}

b) M₂ = {x ∈ℝ: x= (n+1)/m für n,m∈ℕ}

Gib jeweils an, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt und begründe Deine Aussage.

 

Zu a) Da würde ich sagen, dass inf(M₁) = 1 aber kein minimum ist. sup(M₁)= 2 und ist auch ein Maximum. Stimmt das? Bei b) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

Zu a) Es ist sup M1 die kleinste obere Schranke von M1. Für n=1 ist (n+1)/n = 2/1 = 2. Danach fällt die Folge für n > 1. Also ist 2 ein Supremum und zugleich auch Maximum, weil es kein Grenzwert ist, sondern tatsächlich in der Menge enthalten.

Es ist $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{1} = 1$$.

Also ist die größte untere Schranke, das Infimum von M1: inf M1 = 1. Allerdings ist dies nur ein Grenzwert, tatsächlich enthält die Menge diesen Grenzwert nicht. Daher ist es kein Minimum.

Zu b) Du kannst ja bei (n+1)/m z.B. für n=999 und m=1 einsetzen. Dann ist (n+1)/m = 1000/1 = 1000. Du kannst auch jede beliebige noch größere natürliche Zahl für n einsetzen. Es gibt also keine Schranke, bzw. $$sup~ M1 = \infty$$. Ein Maximum existiert nicht.

Genauso kannst du für n immer 1 einsetzen und für m eine beliebig große Zahl, z.B. n = 1, m = 1000. Dann ergibt (n+1)/m = 2/1000. Du kannst aber wieder auch jede beliebige noch größere natürliche Zahl für m einsetzen. Also gibt es keine untere Schranke, bzw. $$inf~ M1 = 0$$, die Menge besitzt aber kein Minimum.