Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades:
$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad;\quad a\ne0$$
ist achsensysmmetrish zur \(y\)-Achse. Das heißt, es muss \(f(-x)=f(x)\) gelten, sodass alle ungeranden Potenzen von \(x\) wegfallen, also ist \(b=0\) und \(d=0\):$$f(x)=ax^4+cx^2+e$$Die gesuchte hat einen Extrempunkt im Koordinatenursprung. Das heißt, sie muss insbesondere durch den Punkt \((0|0)\) verlaufen. Wegen \(f(0)=e\) muss also auch \(e=0\) sein:$$f(x)=ax^4+cx^2$$$$f'(x)=4ax^3+2cx$$$$f''(x)=12ax^2+2c$$Die Extrempunktbedingung \(f'(0)=0\) ist damit bereits automatisch erfüllt, wie man leicht nachrechnet.
Bei \(x=1\) hat die gesuchte einen Wengepunkt, daher muss gelten:$$0\stackrel!=f''(1)=12a+2c\implies2c=-12a\implies c=-6a$$Damit haben wir alle Bedingungen erfüllt, aber noch keine eindeutige Lösung:$$f(x)=ax^4-6ax^2=ax^2(x^2-6)\quad;\quad a\ne0$$
Es bleibt ein Parameter \(a\) übrig, der natürlich ungleich \(0\) sein muss, weil die ganzrationale Funktion sonst nicht den Grad \(4\) hätte. Diese Parameter können wir nun frei wählen und sollen das auch für \(3\) Fälle tun:
$$a=1\;\;\,\quad\Rightarrow\quad f_1(x)=x^4-6x^2$$$$a=-1\quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-(x^4-6x^2)=-x^4+6x^2$$$$a=2\;\;\,\quad\Rightarrow\quad f_3(x)=2x^4-12x^2$$
Wenn man das plottet, sieht man, wie "sexy" Mathe sein kann:
~plot~ x^4-6x^2 ; 2x^4-12x^2 ; -x^4+6x^2 ; [[-3|3|-20|15]] ~plot~
