Berechnen Sie durch Einsetzen in ein geeignetes Polynom zweiter Ordnung einen Näherungswert für …

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x^{2} \ln (x) \).
(a) Weisen Sie nach, dass \( f(x) \geq-1 \) für jedes \( x \in(0, \infty) \).
(b) Berechnen Sie durch Einsetzen in ein geeignetes Polynom zweiter Ordnung einen Näherungswert für \( f\left(\frac{11}{10}\right) \)

Problem/Ansatz:

ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Wenn mir jemand einen Ansatz bzw. Rechenregeln nennen könnte, die ich für diese Aufgabe lernen muss, wäre ich sehr dankbar.

Mfg

Answer 1

(a)

f(x)=x^2*ln(x)

Extremwerte:

f´(x)=2x*ln*ln(x)+x^2*\( \frac{1}{x} \)=2x*ln(x)+x

2x*ln(x)+x=0

x*(2ln(x)+1)=0

x₁=0   f(0)=0*ln(0) ist nicht definiert

2ln(x)+1=0

ln(x)=-\( \frac{1}{2} \)

\( e^{ln(x)} \)=\( e^{-0,5} \)

x₂≈0,61  f(0,61)=(0,61)^2*ln((0,61))≈-0,18

Art des Extremwertes:

f´´(x)=2*ln(x)+2

f´´(0,61)=2*ln(0,61)+2≈1,01>0→Minimum

Comments

Sieht hübsch aus. Du hast noch vergessen, die Ränder der Funktion zu betrachten. Bisher hast du ja nur das lokale Extremum (hier Minimum) berechnet. Es kann so aber allgemein nicht begründet werden, dass die Funktion an den Rändern (\(0\) und \(\infty \)) nicht noch ,,kleiner'' oder größer wird.

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Hallo, danke für die Antwort!

Kannst du mir vielleicht den Schritt erklären, den du nach ln(x)=-1/2 gemacht hast? Ist das irgendeine Rechenregel?

Und wie kommt man auf 0,61 wir dürfen nämlich keinen Taschenrechner bei den Aufgaben benutzen also muss ich das im Kopf ausrechnen können.

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1.) " Es kann so aber allgemein nicht begründet werden, dass die Funktion an den Rändern (\(0\) und \(\infty \)) nicht noch ,,kleiner'' oder größer wird."

f(x)=x^2*ln(x)

f ´ (  x )= 2x* ln(x)+x

f ´ ( x )=2 x* ln(x)+x

Minimum war ja bei x=e^(-0,5)  mit Wolfram ~~0,61 

Ich betrachte nun die Steigung zwischen 0 und x=e^(-0,5)  bei x=e^(-0,5) bei x = 0,2

f ´ ( 0,2 )=2* 0,2* ln(0,2)+0,2= 0,4* ln(0,2)+0,2 mit Wolfram ~~-0,44

Ergebnis monoton fallend.

f(0,1)= 0,1^2* ln(0,1)=0 ,2*ln(0,1)  mit Wolfram ~~-0,46


f(0,0001)= (0,0001)^2*ln(0,1)  mit Wolfram ~~-2,3*\( 10^{-0,8} \)

Je näher an 0  umso kleiner wird der Funktionswert, wird aber nicht größer als 0, weil

f( x )=ln(x) im Intervall (0;1)<0 ist.

Daraus schließe ich:

lim_(x->0) x^2*ln (x)->0

lim_(x->oo) x^2*ln (x)-> +oo

2.) "Kannst du mir vielleicht den Schritt erklären, den du nach ln(x)=-1/2 gemacht hast? Ist das irgendeine Rechenregel?"

ln(x)=-1/2

e^ln(x)=e^(-1/2)->->->f(e^(-1/2))=(e^(-1/2))^2*ln(e^(-1/2))=1/(e^(1/2))^2*(-0,5)=-0,5/e=-1/(2e)

Es gelten die Rechenregeln: e^ln(x)=x und ln(e^x)=x

Wenn du ohne TR auskommen musst : Tiefpunkt bei T(e^(-1/2)|-1/(2e))

Answer 2

Hallo, bei a) kannst du eine Kurvendiskussion machen, indem du loka Extrema bestimmst und die Randwerte von \(f\) betrachtest.

Bei b) ist der Ansatz ein (Taylor) - Polynom der zweiten Ordnung von der Form \(T_2f(x;x_0)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{1}{2}\cdot f''(x_0)\cdot (x-x_0)^2\).

Jetzt brauchst du eine geeignete Stelle \(x_0\in (0,\infty)\) was ,,nahe'' an \(x=\frac{11}{10}\), sodass dein Polynom trotzdem noch ,,einfach'' berechnen lässt, d.h, dass du keine RUndungsfehler machen musst.