McLaurin von ecos(x)

Question

Aufgabe:

McLaurin von e^cos(x)…

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, Irgendwie komm ich nicht weiter, die Aufgabe ist, mittels der Standard Reihen für e^x und cos die Mc Laurin Reihe aufzustellen.

Durch Substitution komm ich bis hier hin: cos(x)= v und v0=cos(0)=1

e+e(1-(x²/2)+(x⁴/24)-1)+(e/2)*(1-(x²/2)+(x⁴/24)-1)²+(e/6)*(1-(x²/2)+(x⁴/24)-1)³



Jetzt komm ich aber nicht weiter. Es sollte am Ende ja wie folgt aussehen:

e(1-x²/2+x⁴/6)

Wie kann ich diese Umformung da oben anstellen, bzw. was ist in meiner Überlegung falsch?

Comments

Wo benutzt du denn die Reihe für e^x ?

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e^cos(0) = e also dementsprechend

e+e(1-(x2/2)+(x4/24)-1)+(e/2)*(1-(x2/2)+(x4/24)-1)²+(e/6)*(1-(x2/2)+(x4/24)-1)³

Answer 1

Hallo,

mir ist nicht klar, woher Du die e/2 und e/6 nimmst.

Ich würde des so machen: Sei $y:=\cos(x)-1=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4 + \ldots$. Dann ist

$$\exp(\cos(x))=e \exp(y)=e\left(1+y+\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{6}y^3+ \ldots \right)$$

Dann kommt auch das von Dir genannte Ergebnis heraus.

Gruß

Comments

Danke @mathepeter, könntest du mir vielleicht nochmal hinschreiben, wie du rücksubstituieren würdest, also dann die cos werte wieder in e eingesetzt? Das wäre wiklich sehr hilfreich..

Liebe Grüße

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Eigentlich ist ja y eine Reihe und auch das Ergebnis ist eine Reihe. Man muss dann festlegen, bis zu welcher Ordnung man das Ergebnis haben möchte, sagen wir bis zu Termen der Ordnung 6, also $x^6$.

Dann hat man also (die PUnkte stehen jeweils für Terme $x^n$ mit $n>6$):

$$y=-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6 \ldots$$

$$\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6\ldots)(-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6 \ldots)$$

$$=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{48}x^6 \ldots)$$

$$\frac{1}{6}y^3=\frac{1}{6}(\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{48}x^6 \ldots)(-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6 \ldots)$$

$$=\frac{1}{6}(-\frac{1}{8}x^6 \ldots)$$

Das addiert man dann alles auf.

Gruß