Berechnen Sie den Parameter k der Funktion fk, sowie die Höhe der Wirkstoffkonzentration 12 Stunden nach der

Question

Aufgabe:

Durch die Einnahme eines Medikamentes zum Zeitpunkt t=0 gelangt ein bestimmter Wirkstoff in das Blut des Patienten. Die Wirkstoffkonzentration, die zum Zeitpunkt t ∈[0 ; 24] im Körper des Patienten ist, kann durch eine Funktion der Funktionenschar f_k=(t)=20. t. e^{-k. t}  mit k>0 beschrieben werden. Dabei wird die Zeit tin Stunden und die Wirkstoffkonzentration in mg/l ange-
geben. Die nebenstehende Abbildung zeigt einen zeitlichen Verlauf, bei dem die Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten zwei Stunden nach der Einnahme des Medikamentes 26,813 mg/l beträgt.
a) Berechnen Sie den Parameter k der Funktion f_k, sowie die Höhe der Wirkstoffkonzentration 12 Stunden nach der
Einnahme des Medikamentes.
Ergebnis: k≈0,2
b) Berechnen Sie den Zeitpunkt und den Wert der maximalen Konzentration des Wirkstoffes im Blut.
c) Weisen Sie nach, dass die Wirkstoffkonzentration nach 24 Stunden kleiner als 4 mg/l ist.
d) Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Wirkstoffkonzentration am stärksten abnimmt.
e) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f_0,2  für t→∞
Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf einen langfristigen Abbau des Wirkstoffes

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe habe ich wirklich keine Ahnung. Meine Abitur ist sehr nah und Sie sind meine einzige Hoffnung. Ich hoffe, dass Sie mir helfen können. Bitte!

Answer 1

Hallo,

\(f_k(t)=20\cdot t\cdot e^{-kt}\)

a) Nach 2 Stunden (t = 2) beträgt die Wirkstoffkonzentration = f(t) 26,813 mg. Setze die beiden Werte in die Gleichung ein und löse nach k auf.

b) Berechne den Hochpunkt.

c) Setze f(t) kleiner/gleich 4 und löse nach x auf.

d) Immer wenn nach stärkster Zu- oder Abnahme gefragt ist: berechne die Wendestelle

e) berechne den Grenzwert

und melde dich, wenn du noch Fragen hast.

Silvia

Comments

Vielen Dank. a, b und c habe ich geschaft aber d und e habe ich gar keine Ahnung. Ich werde sehr dankbar, wenn Sie mir hier die Lösung schreiben.

Vielen Dank im Voraus.

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Die Wendestelle schaffst du auch. Die 2. Ableitung ist

\(f''(t)=(-40k+20k^2t)\cdot e^{-kt}\)

Grenzwert s. hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+of+20x*e%5E%28-0%2C2x%29+as+x+approaches+infinity

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Danke. Aberc e komme ich nicht weiter.

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Schau dir dieses Video dazu an:

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Ich habe noch eine Frage bei b. Für den Hochpunkt brauchen wir die erste Ableitung und dann sollen wir die Gleichung gleich Null einsetzen und wenn das Ergebnis kleiner als Null liegt, kriegen wir ein Hochpunkt. Ist das richtig?

Aber wie soll ich die erste Ableitung finden?

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a, b und c habe ich geschaft aber

Wie hast du b ohne die 1. Ableitung geschafft?

Für den Hochpunkt brauchen wir die erste Ableitung und dann sollen wir die Gleichung gleich Null setzen

richtig

und wenn das Ergebnis kleiner als Null liegt, kriegen wir ein Hochpunkt. Ist das richtig?

Falsch, wenn die 2. Ableitung kleiner null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Wäre sie größer als null, wäre es ein Tiefpunkt.

Aber wie soll ich die erste Ableitung finden?

Wende die Produktregel an!

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Vielen Dank Silvia.