Trennen der Variablen Kondensator

Question

$\tau \cdot \frac{d u}{d t}+u=U_{0}$ für $u=u(t)$

tau = R * C

Trennen der Variablen für u = u(t)

Comments

Und was ist Deine Frage?

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Hier geht es um die mathematische Lösung einer DGL, nicht um die Physik.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Löse zunächst die homogene DGL:

$$\left.\tau\cdot\frac{du_0}{dt}+u_0=0\quad\right|-u_0$$$$\left.\tau\cdot\frac{du_0}{dt}=-u_0\quad\right|\cdot dt$$$$\left.\tau\cdot du_0=-u_0\,dt\quad\right|:\,u_0$$$$\left.\tau\cdot \frac{du_0}{u_0}=-dt\quad\right|\text{beide Seiten unabhängig voneiandner integrieren}$$$$\left.\tau\cdot (\ln|u_0|+c_1)=-t+c_2\quad\right|\text{links ausrechnen}$$$$\left.\tau\cdot \ln|u_0|+\tau\cdot c_1=-t+c_2\quad\right|-\tau\cdot c_1$$$$\left.\tau\cdot \ln|u_0|=-t+c_2-\tau\cdot c_1\quad\right|:\,\tau$$$$\left.\ln|u_0|=-\frac{t}{\tau}+\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}\quad\right|\cdot e^{\cdots}$$$$\left.|u_0|=e^{-\frac{t}{\tau}+\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}}=e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot e^{\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}}\quad\right|c_0\coloneqq e^{\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}}=\text{const}$$$$u_0(t)=c_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}=c_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$

Zur Lösung der inhomogenen DGL benötigen wir noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Man erkennt sofort, dass $u_s(t)=U_0$ eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL ist. Daher können wir nun die allgemeine Lösung angeben:$$u(t)=u_s(t)+u_0(t)=U_0+c_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$