Anfangswertproblem lösen und maximales Intervall bestimmen

Question

Aufgabe:

Folgendes Anfangswertproblem lösen und ein maximales Intervall auf dem die Lösung definiert ist, bestimmen:

$y^{2}$ $y^{'}$ + $x^{2}$ =1, y(1) = $\sqrt[3]{4}$

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe? Kann mir das bitte einer Schritt für Schritt erklären?

Ich habe noch weitere solcher Aufgaben und möchte die anderen selbst versuchen. Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen:

das bedeutet, bringe alles mit y auf die eine Seite, alles mit x auf die andere Seite

y² y'+x²=1

y² y' =1 -x² ; y'=dy/dx

y²  *dy/dx  =1 -x² |*dx

y²  *dy =(1 -x² )dx

y³/3 = x -x³/3 +C₁

$y=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+3C_{1}}$

-die AWB einsetzen y(1)= $4^{\frac{1}{3}}$

Setze y = $4^{\frac{1}{3}}$ und x= 1 in die allgemeine Lösung ein:

Löse nach C auf und setze C in die allgemeine Lösung ein.

$y=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+2}$

maximales Intervall auf dem die Lösung definiert ist, bestimmen:

Das ist der Definitionsbereich der Lösung der DGL

$\{x \in \mathbb{R}; x \leq 2\}$

Comments

Hallo,

mach nicht auch x=-1 Probleme?

Gruß