Zeigen Sie, dass B in die gleiche Blockdiagonalgestalt gebracht werden kann wie A

Question

Aufgabe:

Sei A aus Mat(n; n;K) eine nilpotente Matrix. Nach Aufgabe 1(b) ist auch die
Matrix B = A + A2 nilpotent. Zeigen Sie, dass B in die gleiche Blockdiagonalgestalt
gebracht werden kann wie A, d.h. Anzahl und Größen der Jordanblöcke von A und B
stimmen überein. Gehen Sie wie folgt vor: zeigen Sie dies zunächst für alle Jordan-
Matrizen A = Jn, und argumentieren Sie dann, dass daraus die Aussage für beliebige
nilpotente Matrizen A folgt.

Problem/Ansatz

Vielleicht ist es offensichtlich aber ich komme nicht drauf wie ich den ersten Tipp überhaupt zeigen soll. Hat jemand bitte eine Hilfestellung..

Comments

Hast du inzwischen einen Weg gefunden?

---

Uni Mannheim LA 2a ÜB 3 Aufgabe 3??

---

Im ersten Schritt musst du halt zeigen, dass für alle natürliche Zahlen n und

$$A=J(0,n)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 &\dotsm&0&0\\0&0&1&0&\dotsm &0&0\\\vdots\\0&0&0&0&\dotsm&0&1\\0&0&0&0&\dotsm&0&0\end{pmatrix} K^{n\times n} $$

die Matrix \(A+A^2\) die JNF \( A \) hat. Also existiert eine invertierbare Matrix \( B_n \) mit \( B_n^{-1}(A+A^2)B_n=A \)

Im Allgemeinen hast du ja jetzt

$$ A \approx \begin{pmatrix}J(0,n_1)&&\\&\ddots&\\0&&J(0,n_k)\end{pmatrix} $$

und es ist

$$ A+A^2 \approx \begin{pmatrix}J(0,n_1)+J(0,n_1)^2&&\\&\ddots&\\0&&J(0,n_k)+J(0,n_k)^2\end{pmatrix} $$

Mit der Matrix

$$ B = \begin{pmatrix}B_{n_1}&&\\&\ddots&\\0&&B_{n_k}\end{pmatrix} $$

erhältst du dann schnell

$$ A+A^2\approx A \approx \begin{pmatrix}J(0,n_1)&&\\&\ddots&\\0&&J(0,n_k)\end{pmatrix} $$

(ich verwende \(\approx\) für ähnliche Matrizen)

---

Keine Antwort, aber eine vernünftige Nachfrage, da so vielleicht jemand weiss, was in der Antwort exakt vorausgesetzt werden darf.