Question

Niveaulinien der Funktion f(x,y) = ln(x^2)/(2y)

Text erkannt:

Skizzieren Sie die Niveaulinien der folgenden Funktionen zum Wert \( c \)
(a) für \( c=1 \) und \( c=-1, \) wobei \( f(x, y)=\frac{\ln \left(x^{2}\right)}{2 y} \).

Problem/Ansatz:

wenn man einen Funktionsterm gleich c setzt, dann kann man ja die Gleichung nach y auflösen und man erhält eine Parameterfunktion y_c(x).

Also man setzt die Funktion gleich einer Konstanten c:  f(x,y)=c

Die Graphen sind dann die Niveaulinien zum Wert c.

Stimmt das so? Und, wie sieht das dann genau aus? Also ln(x^2)/2y = c (also einmal 1 und einmal -1) → aber wie gehts dann weiter? Also wie genau kann ich mir jetzt diese Grafik vorstellen? habe zahlreiche solche Aufgaben und würde gerne eine "Musterlösung" haben, damit ich einen Anhaltspunkt habe. Wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!

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Die Funktion:

Answer 1

ln(x^2)/(2y) = 1 | * y

ln(x^2)/2 = y |

Hier einfach "normal plotten" und mit c=1 beschriften

~plot~ ln(x^2)/2 ~plot~

https://www.matheretter.de/rechner/plotlux?draw=ln(x%5E2)%2F2

oder halt noch Logarithmengesetze hervorholen.

ohne Gewähr

2ln(x)/2 = y oder 2ln(-x)/2 = y |

ln(x) = y oder ln(-x) = y |

Nun diese beiden Äste der Niveaulinie zu c=1 zeichnen und vergleichen mit dem Plott weiter oben.

Analog für c=-1. Diese Niveaulinie dann mit einer andern Farbe auch noch einzeichnen.

Nun warte ich auf deine Zeichnungen, bzw. Berichtigungen zu meinem Rechenversuch:)

~plot~ ln(x^2)/2; -ln(x^2)/2 ~plot~

https://www.matheretter.de/rechner/plotlux?draw=ln(x%5E2)%2F2%3B%20-ln(x%5E2)%2F2

Wenn sich Niveaulinien einer Funktion schneiden, stimmt etwas noch nicht ganz. Unbedingt hier Definitionslücken von f(x,y) noch betrachten und ausschliessen.

ln(x^2)/(2y) Division durch 0 ist verboten. D.h. y=0 ist verboten: Also ganze x-Achse besteht aus Defintionslücken. ln(0) ist auch verboten. D.h. x=0 und deshalb die ganze y-Achse besteht auch aus Definitionslücken.

Answer 2

Wenn ln(x²)/(2y) = 1 dann y = ln(x²)/2 und die Niveaulinie ist

Wenn ln(x²)/(2y) = -1 dann y = - ln(x²)/2 und die Niveaulinie ist an der x-Achse gespiegelt.

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danke vielmals!