Die blauen Vektoren sind Einheitsvektoren (Länge 1) und schliessen mit dem schwarzen Vektor einen Winkel von 60° ein.
Bestimmen Sie zwei Einheitsvektoren, die den Winkel von 60° mit dem Vektor
v = <3, 4> aufspannen.
Als Erstes soll der Winkel zwischen v und u 60° messen:
Das kannst du mit dem Skalarprodukt berechnen:
u*v = |u|*|v| cos PHI
Lies " Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt Produkt der Beträge der beiden Vektoren multipliziert mit dem Cosinus des Zwischenwinkels. vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt
Hier
(x,y)*(3,4) = √(x^2 + y^2)*√(3^2 + 4^2) cos(60°)
3x + 4y = √(x^2 + y^2) * 5 * 0.5
Nun kannst du benutzen, dass u ein Einheitsvektor sein soll (Länge ist 1)
Daher √(x^2 + y^2) = 1
x^2 + y^2 = 1
y^2 = 1-x^2
y = ±√(1-x^2)
Beide blauen Gleichungen vereinfachen die Gleichung
3x + 4y = √(x^2 + y^2) * 5 * 0.5
zu
3x + 4√(1-x^2) = 2.5 |nun noch nach x auflösen
4√(1-x^2) = 2.5 - 3x |:4
√(1-x^2) = 5/8 - 3/4 x |^2
1-x^2 = (5/8 - 3/4 x)^2
Diese quadratische Gleichung kannst du bestimmt selbst fertig auflösen:
Mein Resultat
-----> x1= 1/10 (3-4 √(3)) und y1 = 1/10(4+3√3)
x2= 1/10 (3+4 √(3)) und y2 = 1/10(4-3√3)
Das sollte jetzt stimmen. Falls ich mich verrechnet habe, bitte noch sagen. Der beschriebene Rechenweg sollte stimmen.
