In welchen Punkten sind die Funktionen stetig? f1(x) = (ex - e-x)/(ex + e-x)

Question

Ich soll bei den folgenden Funktionen alle Punkte (im Definitionsbereich) bestimmen, in denen sie stetig sind:

(1) f₁ :ℝ→ℝ, gegeben durch f₁ (x)=

$$\frac { { e }^{ x }-{ e }^{ -x } }{ { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }$$

(2) f₂ :ℝ_\{0} ∋ x ↦

$$\frac{1}{x} ∈ ℝ$$

(3) f₃ :ℝ→ℝ, gegeben durch f₃ (x)=

$${ e }^{ -\frac { 1 }{ x } }$$

falls x > 0

und f₃ (x)=0 falls x≤0

Wie gehe ich vor? Beispielsweise

$$\frac { 1 }{ x }$$

ist doch trivialer Weise an jeder stelle (außer halt der ohnehin ausgeschlossenen 0 stetig oder nicht?

Comments

Sorry für die "Formeln", aber warum werden die nur so dargestellt?

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Hilfe zu Formeln hier: https://www.matheretter.de/rechner/latex

Ich habe die fehlenden Doppeldollar an Zeilenanfang und -ende eingefügt. Hoffentlich so, wie's sein sollte ;)

1/x 'trivialerweise' in R\{0}. Sehe ich auch so.

f1 ebenfalls trivialerweise, da der Nenner immer grösser als 0 ist.

Habt ihr eventuell Stetigkeit gerade erst mit Epsilon und Delta definiert? Wenn ja, dann solltest du an diesen Beispielen vermutlich üben diese Definition anzuwenden.

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Alles klar, danke schonmal. Und du hast Recht, probiere ich es mal mit der von dir genannten Definition.

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ich Sitze auch an der Aufgabe. Das 1 und 2 Trivial sind,habe ixhich auch gesehen,aber wie schreibe ich das auf? Ich kann doch nicht einfach trivial dahin schreiben oder? Und wie sieht es aus mit der 3? Danke

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Bei der 3) muss man dann denke ich zeigen, dass e^{-1/x} bei lim(x->0) = 0 ist, damit wäre beim kritischen Punkt x=0 dann die Stetigkeit gezeigt

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OK danke ich Versuch das gleich mal. Aber wie schreibe ich die anderen beiden hin? Kann ich bei 1) z.b schreiben: da hier der Nenner immer >0 ist, ist die Funktion an jeder stelle stetig? Oder geht das so nicht?