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Hallo. Ich habe hier folgende Dichtefunktion f(x)= - \( \frac{1}{a^2 } \)x2 + \( \frac{1}{4} \)

Zu ermitteln ist der Parameter a

Grundsätzlich würde ich mir eine Eigenschaft der Dichtefunktion zu nutze machen:  \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) dx= 1

=> \( \int\limits_{a}^{b} \) - \( \frac{1}{a^2 } \)x2  + \( \frac{1}{4} \) dx = 1

und nach a umstellen. Da ich aber keine Integrationsgrenzen gegeben habe weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, mir fehlt der Ansatz. Kann mir da jemand bitte weiterhelfen?

LG

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oder benötige ich überhaupt keine Integrationsgrenze und betrachte das beschriebene Vorgehen einfach als Unbestimmtes Integral und nicht als bestimmtes integral?

1 Antwort

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Beste Antwort

Es muss f(x) ≥ 0 gelten. Deswegen könnten die Grenzen \(-\frac a2\) und \(\frac a2\) sein.

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Verstehe ich nicht ganz.. könnten Sie das bitte genauer erklären? --

f(x) ≥ 0 gilt für eine Dichtefunktion per Definition, d.h. es muss \(\frac{x^2}{a^2}\le\frac14\) sein, was für \(-\frac a2\le x\le\frac a2\) der Fall ist (\(a\) als positiv angenommen). Außerdem muss, wie du bereits erwähnt hast,$$\large\quad\boxed{\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\left(\frac14-\frac{x^2}{a^2}\right)\mathrm dx=1}$$gelten. Damit hast du eine Gleichung für \(a\), deren Lösung nach meinen Berechnungen \(a=6\) ist.$$\textsf{Probe: }\int_{-3}^3\left(\frac14-\frac{x^2}{36}\right)\mathrm dx=1\textsf{, Bingo!}$$

Super, vielen Dank, habs nun verstanden!

LG

Eine weitere Frage:

wenn ich nun weiter rechne und die Verteilungsfunktion bestimme, ist dies dann so richtig?

F(x) = -\( \frac{x^3 }{108} \) + \( \frac{x}{4} \) + \( \frac{1}{2} \)

ist diese Verteilungsfunktion richtig?

So habe ich das auch berechnet.

Alles klar danke

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