T-periodische Faltung von f,g und f*g

Question

Seien f,g ∈ℝ(T) zwei beliebig integrierbare T-periodische Funktionen. Dann ist die T-periodische Faltung f*g ebenfalls T-periodisch.

Wie zeige ich so etwas? Das ganze steht im Zusammenhang mit dem Thema Fourier Reihen.

Die Definition (f*g)(x) := \( \int\limits_{ℝ}^{} \) f(τ)g(t-τ)dτ

Ich dachte man kann kann ein beliebiges Intervall und zwei beliebige Funktionen nehmen, diese einzeln berechnen und dann das gleich für die Verknüpfung f*g machen. Mein Gedankengang ist das dann das gleiche rauskommen müsste und damit dann gezeigt ist das sowohl die Einzelfunktionen als auch die Verknüpfung das selbe Intervall haben.

Das wird aber wenig mathematisch sein und dann, wenn überhaupt, nur für diesen einen Fall und nicht allen Gülitgkeit haben.

Könnt ihr mir da helfen?

Danke und Gruß

Answer 1

Hallo,

Deine Angabe zur Faltung ist syntaktisch falsch (links x, rechts t). Sie ist inhaltlich falsch, weil dies nicht die Definition der "T-periodischen Faltung" ist.

Wenn Du das korrigiert hast, brauchst Du nur \((f \ast g)(t+T)\) aufschreiben, um direkt zu sehen, dass das Ergebnis der Faltung ebenfalls T-periodisch ist..

Gruß Mathhilf

Comments

Sorry. Das war mein Fehler.

Natürlich müsste da stehen:

(f*g)(t) := \( \int\limits_{ℝ}^{} \) f(τ)g(t-τ)dτ

Auch wenn das sofort ersichtlich ist, dass die Faltung ebenfalls T-peridiodisch ist, reicht das ja leider nicht als Beweis aus..

Wie mache ich das am Besten?

Danke und Gruß

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Die Definition der Faltung ist nach wie vor falsch, weil es um den T-periodischen Fall geht.

Wie mache ich das am Besten

Wenn Du die Definition korrigiert hast, schreibe \((f \ast g)(t+T)\) und verwende die T-Periodizität von g
Gruß Mathhilf