1∞∑1/k^2
Gegeben sei die Reihe: $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } $$
1. Zeigen Sie explizit, dass die Teilsummenfolge der Reihe sn = $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } $$ streng monoton wächst.
2. Zeigen Sie, dass für die Teilsumme sn gilt, dass $$ \sum _{ k=1 }^{ { _{ 2 }{ m+1 }_{ -1 } } }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } \le 2 $$ für n≤2m+1-1 ∀n∈ℕ. ( Hinweis: Schätzen Sie die rechte Seite gliedweise mit der geometrischen Reihe ab.)
3. Zeigen Sie, dass $$ \prod _{ primzahl\quad (p)=2 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 1-1/{ p }^{ 2 } } } $$ = $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } $$ ( Hinweis: Überlegen Sie sich den Zusammenhang der linken Seite mit der geometrischen Reihe. Multiplizieren Sie dann implizit die linke Seite aus und überlegen Sie, ob jeder Bruch 1/k2 für alle k ∈ ℕ genau einmal vorkommt. Denken Sie dabei an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl.
4. Bestimmen Sie nummerisch den Grenzwert der Reihe mit einer Genauigkeit von 10-5.
