Bestimme mithilfe der Substitution z(x) = ax+by(x) +c alle Lösungen der Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Bestimme mithilfe der Substitution z(x) = ax+by(x) +c alle Lösungen der Differentialgleichung

y´ = (y-x+1)^(alpha) mit alpha =1 oder alpha =2.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider gar keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo,

mit alpha =1

y´ = (y-x+1)^(1)

y´ = y-x+1

z=y-x+1

y=z+x-1

y'= z' +1

->in die DGL eingesetzt:

z' +1 =z

z'= z-1

dz/dx= z-1

dz/(z-1) =dx

ln|z-1| = x+C

z-1= e^(x+C) = e^x *e^c ->e^c=1

z-1= C₁ e^x

z= C₁ e^x +1

Resubstitution:

y-x+1 =C₁ e^x +1

y=C₁ e^x +x

Comments

Kann man im Fall alpha =1, auch schreiben:

z´ = z-1 ? Also ist z = y´ ?