+1 Daumen
130 Aufrufe

Aufgabe:

Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:

$$\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x \cdot y}, \quad y(1)=0 $$

Hinweis: Benutzen Sie dazu die Substitution \( z = \frac{y}{x} \)


Ansatz:

Dazu habe ich gerechnet: (Pi und x im Exponenten sollen 2er sein)

$$y ^ { \prime } = \frac { x ^ { \pi } } { x \cdot y } + \frac { y ^ { x } } { x \cdot y }$$

$$\left. \begin{array}{l}{ = \frac { x } { y } + \frac { y } { x } }\\{ y ^ { \prime } = ( \frac { y } { x } ) ^ { - 1 } + \frac { y } { x } }\end{array} \right.$$

Dann habe ich die Substitution ausgeführt:

$$\left. \begin{array} { l } { u = \frac { Y } { x } } \\ { y = u \cdot x } \\ { y ^ { \prime } = u + u ^ { \prime } \cdot x } \end{array} \right.$$

$$u + u ^ { \prime } x = u ^ { - 1 } + u$$

$$u ^ { \prime } = \frac { 1 } { u } \cdot \frac { 1 } { x }$$

$$\int \frac { 1 } { u } d u = \int x d x$$

$$\left. \begin{array}{l}{ \operatorname { ln } ( u ) = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + c }\\{ u = e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \cdot k }\end{array} \right.$$


Problem/Ansatz:

Kann man das mit dem u^{-1} so machen?

von

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo

 richtig bis u'*x=1/u, danach falsch, richtig ist

u'*u=1/x also  ∫u du=  ∫1/x dx

dass dein Ergebnis falsch ist, kannst du ja leicht durch einsetzen in die Dgl für u feststellen. Man sollte immer die Probe machen, das spart viel Zeit!

Gruß lul

von 28 k
+1 Daumen

Hallo,

Meine Berechnung:

C1.png

von 92 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...