Aloha :)
Du kannst diese Aufgabe auch ohne Ableitungen lösen, indem du die Parabelgleichung auf die Scheitelpunktform bringst. Durch die Gerade \(g(x)=-\frac{6}{5}x+4\) ist der \(y\)-Wert der rechten oberen Ecke \(P(x|y)\) festgelegt. Die Fläche des Rechtecks ist daher:$$F=xy=x\left(-\frac{6}{5}x+4\right)=-\frac{6}{5}x^2+4x=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{5}{6}\cdot4x\right)=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{10}{3}x\right)$$
Den Ausdruck in der Klammer können wir mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in ein Binom umwandeln. Um die quadratische Ergänzung zu finden, nehmen wir die Zahl vor dem \(x\), halbieren sie und quadrieren danach das Ergebnis:$$\text{quadratische Ergänzung }=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$$
Das bauen wir nun in die Formel für die Fläche ein:$$F=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{10}{3}x\,+\underbrace{\,\frac{25}{9}-\frac{25}{9}}_{=0}\right)=-\frac{6}{5}\left(\underbrace{\left(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}\right)}_{=\left(x-\frac{5}{3}\right)^2}-\frac{25}{9}\right)$$$$F=-\frac{6}{5}\left(\,\left(x-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{25}{9}\,\right)=-\frac{6}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{6}{5}\cdot\frac{25}{9}$$$$F=-\frac{6}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{10}{3}$$
Da eine Quadratzahl nie negativ sein kann, hat \(\left(x-\frac{5}{3}\right)^2\) für \(x=\frac{5}{3}\) seinen kleinsten Wert \(0\). Für \(x=\frac{5}{3}\) subtrahieren wir also von \(\frac{10}{3}\) am wenigsten.
Für \(x=\frac{5}{3}\) ist die Fläche maximal mit \(\frac{10}{3}\) Flächeneinheiten.
