Zeige dass das uneigentliche Integral existiert nach Majorantenkriterium.

Question

Aufgabe:

Zeige dass das uneigentliche Integral existiert.

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1-x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \cos (x) d x \)

(Hinweis: Majorantenkriterium.)

Problem/Ansatz:

Ich sollte in dieser Aufgabe eine Funktion nach oben abschätzen, aber da es schon eine lange Zeit her war, wie sollte man das tun ? Hier wäre die Funktion, welche ich meine. Ich hätte dort eine Idee, ich würde die Funktion nach g(x) = cos(x) abschätzen. Ist dieser Gedanke richtig ?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt:$$\cos(x)\le1\quad;\quad -x^2\cos(x)\le x^2\quad\implies\quad(1-x^2)\cos(x)\le1+x^2\quad\implies$$$$\frac{1-x^2}{1+x^2}\cos(x)\le1\quad\implies\quad\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\cos(x)\le\frac{1}{1+x^2}$$Damit können wir das Integral abschätzen:$$I=\int\limits_0^\infty\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\cos(x)\,dx\le\int\limits_0^\infty\frac{1}{1+x^2}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_0^\infty=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}$$