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Hallo, könnte mir jemand sagen, wie ich die folgende Aufgabe am besten lösen kann?

Aufgabe:

Bestimme jeweils alle reellen Lösungen der folgenden Gleichung: x2 + 2x = 8


Problem/Ansatz:

Ich würde das mit der pq-Formel lösen, aber gibt es andere, elegantere Wege?

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Aloha :)

Mir fallen spontan 3 andere Wege als die pq-Formel zum Lösen der Gleichung ein.$$x^2+2x-8=0$$

1) Der Satz von Vieta

Finde zwei Zahlen, deren Summe gleich \(2\) ist [die Zahl vor dem \(x\)] und deren Produkt gleich \((-8)\) ist [die Zahl ohne \(x\)]. Das leisten die beiden Zahlen \(4\) und \((-2)\). Daher gilt:$$0\stackrel!=x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\quad\implies\quad x_1=-4\;;\;x_2=2$$

2) Die quadratische Ergänzung

Halbiere die Zahl vor dem \(x\) und quadriere sie danach: \(\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\). Diese Zahl ist die sogenannte "quadratische Ergänzung". Damit schreibst du die Gleichung um:$$0\stackrel!=x^2+2x-8=x^2+2x\,\underbrace{+1-9}_{=-8}=(x^2+2x+1)-9=(x+1)^2-9$$Jetzt bringst du die \((-9)\) auf die andere Seite der Gleichung:$$(x+1)^2=9\quad\implies\quad(x+1)=\pm\sqrt9=\pm3\quad\implies\quad x_1=-4\;;\;x_2=2$$

3) Faktorisierung

Alle ganzzahligen Nullstellen müssten Teiler der Zahl ohne \(x\) sein. Die Zahl ohne \(x\) ist \((-8)\). Ihre Teiler sind \(\pm1,\pm2\,\pm4\,\pm8\). Setze diese Kandidaten in die Gleichung ein und prüfe, ob Null herauskommt. Du wirst fündig bei \(x_1=-4\) und bei \(x_2=2\).

Diese Methode funktioniert auch bei Polynomen mit höherem Grad als \(2\).

Avatar von 148 k 🚀

Danke, das ist sehr hilfreich :)

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Hallo,

x^2 + 2x = 8 

x^2 + 2x -8=0 ->via pq-Formel

x1.2= -1 ± √(1+8)

x1.2= -1 ± 3

x1= 2

x2= -4

Avatar von 121 k 🚀

Genau das wollte der Fragesteller ja explizit nicht hören :)

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