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Aufgabe:

Ich habe einen V der ein K-Vektorraum mit Norm ist. Wobei K ein ℝ oder ℂ- Vektorraum ist. Dabei soll ich zeigen dass die Parallelogrammgleichung gilt:

||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2)


Problem/Ansatz:

||v+w||^2+||v-w||^2= ⟨v+w,v+w⟩+⟨v-w,v-w⟩= ⟨v,v⟩+⟨v,w⟩+⟨w,v⟩+⟨w,w⟩+⟨v,v⟩+⟨-w,v⟩+⟨v,-w⟩+⟨-w,-w⟩=||v||^2+||w||^2+2*Re⟨v,w⟩+||v||^2+||w||^2-⟨w,v⟩-⟨v,w⟩


Wenn ich nun die Hermizizität hernehme wäre es für ℝ schon gezeigt, aber wie mach ich, dass es auch für ℂ gezeigt ist.


Weiters wie zeige ich, dass Die Normen ||.||_∞ und ||.||_1 auf ℝ^m nicht von einem Skalarprodukt induziert sind?

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Hallo,

Dein Problem mit dem Beweis verstehe ich nicht: Am Ende steht doch auch wieder -2Re(<v,w>) und kann also subtrahiert werden?

Für die weiteren Fragen kannst Du einfach Gegenbeispiele suchen, dass da die P_Gleichung nicht erfüllt ist. Zum Beispiel für die "Unendlich-Norm" v=(1,0), w=(0,1)

Gruß Mathhilf

Vielen Dank. Kann ich dann für die "1-Norm" auch die Standardvektoren nehmen und die selbe Beweisführung?

Ja, die Beweisführung ist dieselbe. Was das Beispiel angeht: Probiere es doch einfach aus.

Gruß Mathhilf

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