Beweise, dass es sich hierbei um Normen handelt, diese aber nicht durch ein Skalarprodukt induziert werden.

Question

Hi, ich bräuchte hilfe beim lösen dieser Aufgabe.

||.||_(1)  Summe der Beträge

||.||_(∞)  Maximaler Betrag

Bedanke mich im Voraus.

Beweise, dass es sich hierbei um Normen handelt, diese aber nicht durch ein Skalarprodukt induziert werden.

Comments

Tipp: Für eine durch ein Skalarprodukt induzierte Norm \(\Vert x\Vert:=\sqrt{\langle x,x\rangle}\) mit \(x\in\mathbb R^n\) gilt
\(\Vert x+y\Vert^2+\Vert x-y\Vert^2=2\left(\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2\right)\).

Answer 1

Norm bekommst du sicher hin, einfach die Axiome prüfen.

Dass z.B die max-Norm nicht von einem Skalarprod. induziert ist,

siehst du leicht so:

Gäbe es ein Skalarprod < ..,..> mit  ||x||_∞ = √<x,x|>

Dann betrachte (etwa in R2 ) die Einheitsvektoren e1 = (1;0) und e2 =(0;1)

Dann gilt ||e1|| = ||e2||=||e1+e2|| = 1

also 1=||e1+e2|| ² =  < e1+e2 ; e1+e2 > = ||e1||² + 2*<e1;e2> + ||e2|| ²   #

und   1=||e1-e2|| ² =  < e1-e2 ; e1-e2 > = ||e1||²  - 2*<e1;e2> + ||e2|| ²

also  <e1;e2> = 0 .

also gibt #    ||e1||² + ||e2|| ²   = 1

             ==>      2 = 1 .

Widerspruch.