Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des lokalen Extrempunktes von G1 .

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des lokalen Extrempunktes von G1 .
Zeigen Sie, dass dieser Punkt auch für alle anderen Graphen Ga der lokale Extrempunkt
ist und dessen Art stets mit der des Extrempunktes von G1 übereinstimmt.

Funktionsgleichung: e^(1/2ax-a) + e^(-1/2ax+a)

Problem/Ansatz:

kann mir jemand bei der zweiten Teil von der Aufgabe hilfen? Meine Vermutung ist dass mann eigentlich nur der x und y wert von der Extrempunkt von G1 nur in der erste Ableitung von der Funktionsgleichung einsetzen soll um zu zeigen dass der punkt für alle graphen gilt..

Answer 1

Für a≠0 liegt bei (2|2) ein Minimum vor.

Du musst also nur zeigen, dass der Punkt nicht von a abhängt und dass die Bedingungen für ein Minimum erfüllt sind.

\( f"(x)=0.25a^{2} e^{-0.5 a x}\left( e^{a(x-1)}+ e^{a}\right) \)

Für a≠0 sind alle Faktoren positiv

--> f"(2)>0

:-)

:-)

Comments

Genau, und das zeige ich doch indem ich der Punkt einmal in der ersten und zweiten Ableitung einsetze stimmt das?

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Den x-Wert bestimmst du mit der 1. Ableitung. Dann setzt du ihn in die 2. Ableitung ein.

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Das habe ich schon getan...

Aber mein Problem ist, wie zeige ich dass dieser Punkt auch für alle anderen Graphen Ga der lokale Extrempunkt ist...

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Der Extrempunkt ist doch nicht von a abhängig. Also liegt er auf allen Scharkurven.

Sieh dir nun die zweite Ableitung an. Wenn du x=2 einsetzt bekommst du einen Term, der von a abhängt. Für a=0 wird er Null. Hier liegt kein Extremum vor! Für alle anderen Werte von a ist der Term positiv. Daher liegt ein Minimum vor.

Answer 2

f(x)=e^(1/2ax-a) + e^(-1/2ax+a)

f '(x)=\( \frac{a}{2} \) ·e^(1/2ax-a) - \( \frac{a}{2} \)· e^(-1/2ax+a)

Nullstelle der 1. Ableitung für x=2, f(2)=2

Der Punkt (2/2) ist globales Minimum für alle Graphen der Schaar, weil 2≤e^(1/2ax-a) + e^(-1/2ax+a) für alle a.

Comments

Ich habe ihre Begründung nicht so gut verstanden also warum der punkt ein globales Minimum für alle Graphen der Schaar ist?

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Was hast du an

"2≤e^(1/2ax-a) + e^(-1/2ax+a) für alle a"

nicht verstanden?

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Wie kommst du drauf dass "2≤e^(1/2ax-a) + e^(-1/2ax+a) für alle a?

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ich habe e^(1/2ax-a) + e^(-1/2ax+a) für -4<a<4 und a∈ℕ gezeichnet: