Menge der Nullteiler von Z_n

Question

Hi community,

Aufgabe:

$$\textrm{ Sei } n\in \N \textrm{ mit } n\geq 2 \textrm{ und seien } p_1, p_2, ..., p_r \textrm{ die paarweise verschiedenen Primteiler von n. } \\ Für 1\leq i\leq r \textrm{ definiere } k_i = \{ a\in \{ 1,...,n-1 \} | p_i \textrm{ teilt a } \}. \\ \textrm{ Zeigen Sie, dass } M = k_1\cup ... \cup k_r \textrm{ die Menge der Nullteiler von } \Z _n \textrm{ ist. }$$

Problem/Ansatz:

Ich habe das jetzt so verstanden: Die Primteiler p_i eines festen Werts n teilen meist noch andere Werte a im Intervall [1,n-1]. Diese Werte a die p_i ebenso teilt, landen in k_i. Am Ende ist M die Vereinigung aller k_i. Soweit so gut. Aber finde leider keinen Ansatz für den Beweis. Vielleicht könntet ihr mir da ja weiterhelfen. Vielen Dank im voraus!:)