ein Ring ℤ/nℤ ist genau dann nullteilerfrei, wenn n eine Primzahl ist

Question

hey, kann mir jemand bei dieser Übung helfen? wäre sehr dankbar :)

Aufgabe:

Eine natürliche Zahl n ∈ ℕ≥2 heißt Primzahl, falls die folgende Aussage gilt: Für alle a,b∈ℕ≥1 mit n | ab gilt n | a oder n | b.
Hierbei bedeutet x | y (x teilt y), dass y = kx für ein k ∈ ℕ gilt.

(i) Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass der Ring ℤ/nℤ genau dann nullteilerfrei ist, wenn n eine Primzahl ist.

(ii) Zeigen Sie, dass ein Element r in einem kommutativen Ring R genau dann kein Nullteiler ist, wenn die Abbildung lr : R → R, x→ rx, die durch Multiplikation mit r gegeben ist, injektiv ist.

(iii) Zeigen Sie, dass ein endlicher kommutativer Ring mit Eins genau dann ein Körper ist, wenn er nullteilerfrei ist. Insbesondere ist also ℤ/nℤ für eine Primzahl n ein Körper.

(iv) Zeigen Sie, dass der Ring ℤ/nℤ genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.

Hinweis zu (iii): Sie dürfen verwenden, dass eine injektive Abbildung einer endlichem Menge auf sich selbst automatisch surjektiv ist.

Answer 1

(i) Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass der Ring ℤ/nℤ genau dann nullteilerfrei ist, wenn n eine Primzahl ist.

Bew.:   ℤ/nℤ nicht nullteilerfrei

<=>  Es gibt a,b ∈  ℤ/nℤ    a*b=0    a≠0  und b≠0

<=> Es gibt a,b ∈  ℤ       a*b Vielfaches von n und  a kein Vielfaches von n  
                                                                   und b kein Vielfaches von n

<=>  Es gibt a,b ∈  ℤ      n| ab   und  ¬(n|a) und   ¬(n|a)

==>  Die Aussage
        Für alle a,b∈ℕ≥1 mit n | ab gilt n | a oder n | b.

Damit ist gezeigt :

ℤ/nℤ genau dann nicht nullteilerfrei ist, wenn n keine Primzahl ist.

also auch

ℤ/nℤ genau dann nullteilerfrei ist, wenn n eine Primzahl ist.

Answer 2

(ii):

Ist \(l_r\) injektiv, dann gilt für \(a\in R\):

\(l_r(a)=ra=0=l_r(0)\Rightarrow a=0\), d.h.

\(r\) ist kein Nullteiler.

Ist andererseits \(r\) kein Nullteiler

und \(l_r(a)=l_r(b)\), dann ist

\(ra=rb\Rightarrow r(a-b)=0\) und da \(r\)

kein Nullteiler ist, folgt \(a-b=0\), d.h. \(a=b\),

\(l_r\) ist also injektiv.