Aloha :)
Analyse:
Die Formel für den Erlös bauen wir uns aus dem Text zusammen:$$E(x_1;x_2;x_3)=\left(3200x_1-500\,000\right)+\left(5600x_2-4x_2^2-200\,000\right)$$$$\phantom{E(x_1;x_2;x_3)}+\left(8800\,\frac{x_3}{2}-12\left(\frac{x_3}{2}\right)^2\right)$$Damit jede Maschine für sich produktiv arbeitet, muss sie einen positiven Beitrag leisten.
Für Maschine 1 heißt das:$$3200x_1-500\,000>0\implies x_1>\frac{500\,000}{3200}=156,25$$Für Maschine 2 heißt das:$$5600x_2-4x_2^2-200\,000>0\implies x_2^2-1400x_2<-50\,000$$$$\implies x_2^2-2\cdot700x_2+700^2<-50\,000+700^2\implies(x_2-700)^2<440\,000$$$$\implies|x_2-700|<\sqrt{440\,000}\implies-\sqrt{440\,000}<x_2-700<\sqrt{440\,000}$$$$\implies700-\sqrt{440\,000}<x_2<700+\sqrt{440\,000}\implies36,67<x_2<1363,33$$Für Maschine 3 heißt das:$$8800\,\frac{x_3}{2}-12\left(\frac{x_3}{2}\right)^2>0\implies4400x_3-3x_3^2>0\implies x_3(4400-3x_3)>0$$$$\implies x_3>0\;\land\;x_3<\frac{4400}{3}\approx1466,67$$Weiter kennen wir die Rohstoffmenge für alle Maschinen pro Tag:$$x_1+x_2+x_3=1000$$
Zusammenfassung:
Die Erlösfunktion$$E(x_1;x_2;x_3)=3200x_1+5600x_2-4x_2^2+4400x_3-3x_3^2-700\,000$$soll unter den Nebenbedingungen:$$g(x_1;x_2;x_3)=x_1+x_2+x_3\stackrel!=1000\quad;\quad x_1>156,25\;;\;x_2>36,67\;;\;x_3>0$$optimiert werden.
Rechnung:
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradienten der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}E(x_1;x_2;x_3)=\lambda\operatorname{grad}g(x_1;x_2;x_3)\implies\begin{pmatrix}3200\\5600-8x_2\\4400-6x_3\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$
Aus der Gleichung für die 1-te Koordinate folgt der Lagrange-Multiplikator \(\lambda=3200\), sodass wir aus der Gleichung für die 2-te und 3-te Koordinate direkt auflösen können:$$5600-8x_2=3200\implies 8x_2=2400\implies x_2=300$$$$4400-6x_3=3200\implies 6x_3=1200\implies x_3=200$$Aus der Nebenbedingung folgt noch:$$x_1=1000-x_2-x_3=1000-300-200=500$$
Die ideale Aufteilung ist also:$$x_1=500\quad;\quad x_2=300\quad;\quad x_3=200$$Beachte, dass insbesondere \(x_1>165,25\;,\;x_2>36,67\) und \(x_3>0\) erfüllt sind.
