Implizit differenzierbare Funktion y: 3·y^2 - 2·x·y = - 1. Suche y'' im Punkt (x, y) = (2, 1).

Question

Es werde y implizit als differenzierbare Funktion von x definiert durch die Gleichung

3·y^2 - 2·x·y = - 1

Bestimmen Sie die zweite Ableitung y'' im Punkt (x, y) = (2, 1).

Answer 1

Es werde y implizit als differenzierbare Funktion von x definiert durch die Gleichung

3·y² - 2·x·y = - 1

Bestimmen Sie die zweite Ableitung y'' im Punkt (x, y) = (2, 1).

3·y² - 2·x·y = - 1        |links und rechts nach x ableiten
3*2y*y' -(2*y + 2x*y') = 0
6yy' -2y - 2xy'=0    |:2
3yy' - y - xy' = 0

y'(3y -x) = y
y' = y/(3y - x)           |Quotientenregel
y'' = (y' *(3y-x) -y*(3*y' - 1)) /(3y - x)^2
= y'(3y-x-3y)/(3y-x)^2  - y/(3y-x)^2

= (-y'x)/(3y-x)^2  - y/(3y-x)^2                 |y' einsetzen
= -yx/(3y-x)^3 - y/(3y-x)           

Punkt (x, y) = (2, 1) einsetzen
=-2/1^3 - 1/1 

= -3

1. Nachrechnen 
2. Überlegen, wann du frühestens den Punkt einsetzen dürftest.
 

Comments

3*2y*y' -(2*y + 2x*y') = 0 
6yy' - 2y + 2xy' = 0    |:2 

Ist in der 2. Zeile ein Vorzeichenfehler passiert?

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Ich danke und überlasse die korrigierte Version dem Fragesteller zur Überprüfung.