Warum genau ist die Mächtigkeit GmodU mit U={0} eben nicht unendlich? Beweis?

Question

Sei G eine abelsche Gruppe und U eine Untergruppe von G

G/U ist die Faktorgruppe von GmodU

Z.z. Sei G/U≅G und #/G/U)<∞ , dann ist U={0}

Mein Ansatz:

ist U={0}, dann ist folglich auch G/U≅G da G/U={x+U}|x∈G} und damit hier G/U={x+0}|x∈G}und damit G/U={x|x∈G}≅G gilt. Dies gilt auch für U=∅, dann ist G/U={x+∅|x∈G} und damit G/U={x|x∈G}≅G. Hier ist aber #/G/U)=∞, da in G/U alle Elemente G sind...

Hier komme ich mit dem Beweis nicht weiter... Warum genau ist die Mächtigkeit GmodU mit U={0} eben nicht unendlich? Könnte mir da jemand weiterhelfen??

Viele Grüsse, Christiane

Comments

ist U={0}, dann ist folglich auch G/U≅G da G/U={x+U}|x∈G} und damit hier G/U={x+0}|x∈G}und damit G/U={x|x∈G}≅G gilt

1. Hat das nichts mit der Aufgabe zu tun. Du sollst die andere Richtung zeigen.

2. Ist für \( U = \{ 0 \} \) formal gesehen \( G/U=\{\{x\}|x∈G\} \).

Dies gilt auch für U=∅, dann ist G/U={x+∅|x∈G}

U=∅ ist keine Untergruppe.

Hier ist aber #(G/U)=∞, da in G/U alle Elemente G sind...

Und G ist unendlich? Das ist keine Voraussetzung!

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Ein paar Fragen denen du mal nachgehen könntest:

Wenn G/H endlich ist und G/H zu G isomorph ist, was kannst du dann über G aussagen?

Wenn H eine Untergruppe von G ist. Was sagt dann der Satz von Lagrange über die Anzahl der Elemente von H und G aus? Gibt es dafür irgendeine nötige Voraussetzung an G? Was kannst du über die Anzahl der Elemente in G/H sagen?

Wie viele Untergruppen mit genau einem Element gibt es in G?

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Den Satz von Lagrange hatten wir noch gar nicht... Ich stehe hier leider auf dem Schlauch...

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Wenn G/H endlich ist und G/H zu G isomorph ist, was kannst du dann über G aussagen?

Das solltest du dennoch beantworten können.

Über den Satz von Lagrange kannst du dich hier informieren: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange

Wie viele Untergruppen mit genau einem Element gibt es in G?

Das hier solltest du auch beantworten können.