Question

Warum wird diese Funktion so abgeleitet? (Produktregel)

Problem/Ansatz - Diese Funktion muss abgeleitet werden:

f(t)= 23+20t × e^-0,1t

Als Lösung wird angegeben:

f'(t)= 20e^-0,1t + 20t × e^-0,1t × (-0,1)

Natürlich kann das Ganze noch vereinfacht werden. Meine Frage ist:

Was passiert mit der 23? Ich habe mit der Funktion u(t)= 23 + 20t gerechnet. Die Lösung hat die 23 auch beim nicht abgeleiteten Teil von u ignoriert. Ist das ein Fehler in der Lösung oder macht man das so? Das Ergebnis ist schließlich nicht das selbe.

Answer 1

Hallo,

Was passiert mit der 23?

23 ist eine Konstante . Ein Konstante abgeleitet ergibt 0.

Comments

Ja, aber die Produktregel lautet ja u'(x)×v(x) + u(x) × v'(x)

Müsste dann im zweiten Teil die Konstante immer noch dabei sein? Oder habe ich es falsch verstanden und alle konstanten werden schon vor der Anwendung der Regel abgeleitet?

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Du hast 2 Summanden und leitest jeden Summand getrennt ab.

Es gilt allgemein:

y= u ± v

y' = u' ± v'

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Jetzt ist der Groschen gefallen

Answer 2

In der deutschsprachigen Schulmathematik spricht man gerne von der "Punkt-vor-Strich-Regel". Damit ist gemeint, dass die Rechenarten Multiplikation und Division gegenüber den Rechenarten Addition und Subtraktion in der Auswertungsreihenfolge vorrangig behandelt werden sollen, um damit eine klammersparende Notation von Termen zu ermöglichen.

Das müssen wir sinngemäß auch hier beachten. Schreibe statt \(a\times b\) also besser \(a\cdot b\), dann wird deutlich, dass du nicht "mit der Funktion u(t)= 23 + 20t" arbeiten darfst, weil du ansonsten die Punkt-vor-Strich-Regel missachten würdest. Die vorgelegte Funktion ist nämlich gar kein Produkt, sondern eine Summe, da die Strich-Rechnung \(+\) gemäß der genannten Regel als letzte ausgeführt werden muss. Wir müssen also zunächst mit der Summenregel arbeiten und erst danach beim Ableiten des zweiten Summanden mit der Produktregel, da dieser Summand eben ein Produkt ist. Der erste Summand ist hingegen ein konstanter Summand, der beim Ableiten \(0\) wird.

Comments

Und wenn (23+20t) umklammert wäre würde es mit zum Produkt zählen und deshalb nicht direkt wegfallen, richtig?

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Das ist richtig.