Berechnen Sie E(X), wenn die Wahrscheinlichkeit für einen positiven PCR-Test in der Population 4.5 % beträgt.

Question

Aufgabe:Um die Anzahl der Testungen im Zuge der Covid-19 Pandemie deutlich zu erhöhen, wurde die (schon länger bekannte) Methode des Pool Testing vorgeschlagen: Im konkreten Fall werden die Schleimhautproben von 25 Personen (nach Sicherung des ursprünglichen Probenmaterials) zu einer gemeinsamen Probe vermengt und anschließend der PCR-Test auf Nachweis der Viren-RNA auf die gemeinsame Probe angewendet. Wenn dieser Test negativ verläuft, dann kann man allen 25 Probanden ein negatives Testergebnis zuweisen. Ist der Test hingegen positiv, dann müssen zusätzlich die gesicherten Proben Person für Person getestet werden. Durch das Pool Testing kann es zu teil erheblichen Effizienzgewinnen kommen im Hinblick auf die durchschnittliche Gesamtanzahl an Tests.

Es sei X die Anzahl der PCR-Tests, die notwendig sind, um jedem der 25 Patienten ein positives oder negatives Testergebnis zuzuweisen. Berechnen Sie E(X), wenn die Wahrscheinlichkeit für einen positiven PCR-Test in der Population 4.5 % beträgt.
Hinweis: X kann nur zwei verschiedene Werte annehmen!

Problem/Ansatz: Richtige Antwort ist 18,09

Könnte mir bitte jemand den Rechenweg erklären ?

Answer 1

Aloha :)

Wenn alle Proben negativ sind, wird genau $1$ PCR-Test benötigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle $25$ Getesteten negativ sind ist $(1-0,045)^{25}=0,955^{25}$.

Wenn mindestens eine Probe positiv ist, werden genau $26$ PCR-Tests benötigt, weil nach dem ersten Test ja jeder der $25$ Pool-Leuten getestet werden muss. Die Wahrscheinlichkeit, dass von den $25$ Getesteten mindestens einer positiv getestet wird, beträgt $(1-0,955^{25})$.

Der Erwartungswert für die Anzahl der $X$ der Tests ist daher:$$\left<X\right>=1\cdot0,955^{25}+26\cdot(1-0,955^{25})\approx18,0928\approx18,09$$