Seien X,Y,Z nichtleere Mengen und f : X → Y, g : Y → Z Abbildungen. Beweisen Sie folgende Aussagen:

Question

Aufgabe:

Seien X,Y,Z nichtleere Mengen und f : X → Y, g : Y → Z Abbildungen. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) f ist surjektiv und g ist surjektiv ⇒ g ◦ f ist surjektiv,

(b) f ist injektiv und g ist injektiv ⇒ g ◦ f ist injektiv,
(c) g ◦ f ist surjektiv ⇒ g ist surjektiv,

(d) g ◦ f ist injektiv ⇒ f ist injektiv.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie man die Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Hallo:-)

Du musst im Prinzip die jeweiligen Definitionen der gegebenen Funktionen nachrechnen.

Zu a). Du sollst hier die Definition zur Surjektivität für die Abbildung

$g\circ f:\space X\to Z$

nachrechnen. Es ist hier bekannt, dass $f$ und $g$ surjektiv sind. Das muss man ausnutzen.

Beweis. Zeige, dass es für alle $z\in Z$ ein $x\in X$ gibt, sodass $g(f(x))=z$ gilt. Da $g:\space Y\to Z$ nach Voraussetzung surjektiv ist, gibt es für alle $z'\in Z$ ein $y\in Y$, sodass $g(y)=z'$ erfüllt ist. Da weiter auch $f:\space X\to Y$ nach Voraussetzung surjektiv ist, gibt es auch hier für alle $\overline{y}\in Y$ ein $\overline{x}\in X$, sodass $f(\overline{x})=\overline{y}$ gilt. Wegen Surjektivität von $g$ ist damit auch $g(\overline{y})=g(f(\overline{x}))=z$ stets erfüllt und mit $x:=\overline{x}$ folgt die Behauptung.

Merke: Wenn du beim Beweisen einer Behauptung nicht alle gegebenen Voraussetzungen verwenden musstest/ verwendet hast, dann ist entweder zu viel vorausgesetzt worden oder du hast bei deinen Überlegungen vergessen, diese Voraussetzungen mit einzubeziehen, sodass dein Beweis falsch ist.

Comments

Danke sehr!! Jetzt weiß ich was mein Problem war :)

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Das freut mich. :-)