Seien f : M → N, g : N → R Abbildungen. Beweisen Sie, dass die Injektivität (Surjektivität, Bijektivität) von ...

Question

Aufgabe: Seien f : M → N, g : N → R Abbildungen. Beweisen Sie, dass
die Injektivität (Surjektivität, Bijektivität) von f und g impliziert, dass auch
g ◦ f injektiv (surjektiv, bijektiv) ist.

Problem/Ansatz:

Hier bin ich völlig verwirrt. Ich habe leider noch nicht einmal einen Ansatz. Ich bin dankbar für jede Hilfe !

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Gegeben:$\quad f:\;M\to N\quad;\quad g:\;N\to R$.

zu a) Injektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\text{ ist injektiv}}{\implies}f(x_1)=f(x_2)\stackrel{f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2$$Wenn also $f$ und $g$ injektiv sind, ist auch die Verkettung $g\circ f$ injektiv.

zu b) Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

Wähle ein $c\in R$ beliebig, aber fest. Da $g$ surjektiv ist, gibt es ein $b\in N$ mit $c=g(b)$. Da $f$ ebenfalls surjektiv ist, gibt es ein $a\in M$ mit $b=f(a)$. Für das gewählte $c$ gibt es also ein $a$ mit $c=g(f(a))$. Da $c$ beliebig gewählt werden kann, gilt also:$$\forall c\in R:\;\exists a\in M:\;c=(g\circ f)(a)$$Wenn also $f$ und $g$ surjektiv sind, ist auch die Verkettung $g\circ f$ surjektiv.