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Juhuu,

könnte Hilfe bei folgendem gebrauchen. ;-)

Verifizieren sie, dass bei den folgenden Grenzwerten die Regel von de l´hospital anwendbar ist und berechnen sie anschliessend den jeweiligen Grenzwert mit Hilfe dieser Regel.

a) limx-->0  sin(x)/ln (1+x)

b) lim x-->0 ln(cos(x)/ln(cos(pix))

Ich hoffe es kann mir hierbei einer helfen. Ich weiss, dass die Formel folgende ist:

lim x-->x0 f(x)/g(x)=lim x-->x0 f´(x´)/g´(x).

Heisst dass, dass ich erstmal die Zweite Ableitung mache und die dann in die Formel einsetze?

Also bei a)

sin(x)/ln (1+x)/

die 1. Ableitung

f´(x)= x*cos(x)*ln(1+x)+cos(x)*ln(1+x)-sin(x)/(x+1)*ln(x+1)²

aber was ist dann mein g´(x) ???

vielen dank für eure Hilfe
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lim x-->x0 f(x)/g(x) =lim x-->x0 f´(x´)/g´(x).

Nein diese Formel will, dass du Zähler und Nenner separat ableitest.

Ein Mal und dann schauen, ob du den Grenzwert jetzt hast, oder ob du noch weiter Hospital benutzen darfst.
Achso, besten Dank.

Also so

sin(x)/ln(x+1) = sin(x)/1/x+1 . Hab jetzt beides separat abgeleitet. Aber ich verstehe ehrlich gesagt noch nicht so richtig woran ich jetzt erkenne ob ich den Grenzwert jetzt hab.

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Hi

a)

Für x = 0 ist sin(x) / ln(1+x) = 0/0.
Das ist ein unbestimmter Ausdruck und damit haben wir
verifiziert, dass die Regel von L’Hospital anwendbar ist.

lim x->0 sin(x) / ln(1+x) = lim x->0 (sin(x))' / (ln(1+x))' =
lim x->0 cos(x) / (1/(1 + x)) = lim x->0 cos(x) * (1 + x) =
cos(0) * (1 + 0) = 1

b)
Für x = 0 ist ln(cos(x))/ln(cos(pi x)) = ln(1)/ln(1) = 0/0.
-> L’Hospital ist anwendbar.

lim x->0 ln(cos(x))/ln(cos(pi x)) = lim x->0 (ln(cos(x)))'/(ln(cos(pi x)))' =
lim x->0 tan(x)/(pi*tan(pi x))

Hier hat die erste Ableitung nicht weitergeholfen, weil für x = 0
erneut ein unbestimmter Ausdruck 0/0 entsteht, darum müssen wir
noch einmal ableiten.
lim x->0 tan(x)/(pi*tan(pi x)) = 1/pi * lim x->0 (tan(x))'/(tan(pi x))' =
lim x->0 1/pi * (1/cos^2(x)) / (pi/cos^2(pi x)) =
lim x->0 1/pi * (1/cos^2(x)) / (cos^2(pi x)/pi) =
1/(pi)^2
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