Reihen auf Konvergenz/Divergenz untersuchen.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz oder Divergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

(a) \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} 2^{i} \)

(b) \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} \)

(c) \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} \sin (i \pi) \)

(d) \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} \cos (i \pi) \)

Answer 1

a) divergiert, da die Summandenfolge nicht gegen 0 konvergiert.

b) ist eine konvergente geometrische Reihe.

s = 1/(1 - 1/2) = 1 / ( 1/2) = 2.

c) alle Summanden sind 0. Und s = 0+0+....+ 0 = 0. c) konvergiert.

d) die Summanden sind 1, -1,1,-1,.... also Summandenfolgen konvergiert nicht gegen 0. Daher: Reihe ist divergent.