Masse eines 1/8 Klugelstücks

Question

Hallo ich muss die Masse eines 1/8 Kugelstücks im positiven Oktanten mit dem Radius =1m und der Massendichte p(x,y,z)=xyz kg/m^3 berechnen

Ich denke, es läuft auf ein 3-fach Integrad aus..hat jemand vielleicht einen Ansatz dazu? Dankee :))

Answer 1

Da du die Masse eines Kugelstückes berechnen sollst, würde ich auch Kugelkoordinaten verwenden.

Kugelkoordinaten:

x = r*cos θ * sin φ

y = r*sin θ * sin φ

z = r*cos θ

Funktionaldeterminante ist r^2 * sin θ, also ist dxdydz = r^2 * sin θ * drdφdθ

Das Integral lautet also:

∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) ∫(r=0..1) r^5 * (cos θ)^2 *(sin θ)^2 * (sin φ)^2 drdφdθ

Integration nach r:

∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) [1/6*r^6  * (cos θ)^2 *(sin θ)^2 * (sin φ)^2]₀¹ dφdθ

= ∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) 1/6* (cos θ)^2 *(sin θ)^2 * (sin φ)^2 dφdθ

= 1/6 * ∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) (cos θ)^2 *(sin θ)^2 * (sin φ)^2 dφdθ

Integration nach φ: mit  ∫(sin φ)^2 dφ = φ/2 - 1/4 sin (2φ)

= 1/6 * ∫(θ=0..π/2) [(cos θ)^2 *(sin θ)^2 * (φ/2 - 1/4 sin (2φ))]₀^π/2 dθ

= 1/6 * ∫(θ=0..π/2) (cos θ)^2 *(sin θ)^2 * π/4 dθ

= π/24 * ∫(θ=0..π/2) (cos θ)^2 *(sin θ)^2 dθ

Vereinfachen: mit  sin θ * cos θ = 1/2 sin (2θ), also (cos θ)^2 *(sin θ)^2 = 1/4 (sin (2θ))^2

= π/96 * ∫(θ=0..π/2) (sin (2θ))^2 dθ

Integration nach θ: mit  ∫(sin (2θ))^2 dθ = θ/2 - 1/8 sin (4θ)

= π/96 * [θ/2 - 1/8 sin (4θ)]₀^π/2

= π/96 * π/4

= π²/384

Das Kugelstück wiegt also ungefähr 25,7g.

Comments

sieh dir die Kugelkoordinaten noch mal genau an, du hast das was verwechselt.

Bei x und y sind jeweils Teta unf Phi sind vertausch.

mfg Daniel

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

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Da habe ich mich verlesen.

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x = r*sin θ * cos φ

y = r*sin θ * sin φ

z = r*cos θ

Funktionaldeterminante ist r² * sin θ, also ist dxdydz = r² * sin θ * drdφdθ

Das Integral lautet also:

∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) ∫(r=0..1) r⁵ * (cos θ) *(sin θ)³ * (sin φ) * (cos φ) drdφdθ

Integration nach r:

∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) [1/6*r⁶  * (cos θ) *(sin θ)³ * (sin φ) * (cos φ)]₀¹ dφdθ

= ∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2) 1/6*  (cos θ) *(sin θ)³ * (sin φ) * (cos φ) dφdθ

= 1/6 * ∫(θ=0..π/2) ∫(φ=0..π/2)  (cos θ) *(sin θ)³ * (sin φ) * (cos φ) dφdθ

Integration nach φ: mit  ∫ (sin φ) * (cos φ) = -1/2 cos² (φ)

= 1/6 * ∫(θ=0..π/2) [(cos θ) *(sin θ)³ * (-1/2 cos² (φ))]₀^π/2 dθ

= 1/6 * ∫(θ=0..π/2) (cos θ) *(sin θ)³* 1/2 dθ

= 1/12 * ∫(θ=0..π/2) (cos θ) *(sin θ)³ dθ

Integration nach θ: mit  ∫cos θ) *(sin θ)³ dθ = 1/4*(sin θ)⁴

= 1/12 * [1/4*(sin θ)⁴]₀^π/2

= 1/12 * 1/4

= 1/48

Das Kugelstück wiegt also ungefähr 20,8g.

Ich hoffe, das stimmt jetzt.

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Na das will ich hoffen, ich hab es so ausgerechnet und Heute abgegeben ;D.

Ich hab es ebenfalls auch noch mal mit Zylinderkoordinaten ausgerechnet, da sollte ja das gleiche Ergebnis rauskomen, Wolfram sagt jedenfalls auch 1 / 48, bei beiden Varianten, bloss - mein Blatt sagt da 3 / 112 :*( (und trotz heftigen schimpfens, bleibt es bei seiner/ ihrer Meinung), naja egal ich habe dann eh die Kugelkoordinaten Variante abgegeben.

Hey wenn du noch lust hast Integrale zu berechnen, wie wäre es mit Linienintegralen.

Ich sitzt gerade an den nächsten Aufgaben und grüble gerade ganz heftig rum.


Ich hab 2 Linienintegrale

a.) [(2yx+4x)dx+(x^2 -1)dy]

b.) [2yx dx +(x^2+z)dy +y dz]

Nun soll ich zeigen das die Wegunabhämgig sind und die Potentialfunktion phi bestimmen.

Meine Frage dazu lautet:

Wie bekomme ich die Grenzen t raus oder wird es ein Doppelintegral?

Ich hab bis jetzt, um genau zu sein erst ab Heute damit zu tun und hab bisher dazu nur ein 2 Dimensionales Beispiel gerechnet, wo c1:t->... und c2:t->... schon vorgegeben war.

Eine Skizze, wo ich Grenzen ablesen könnte hab ich dazu leider auch nicht mitbekommen.

mfg. Daniel


mfg. Daniel

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Ok hab es jetzt geschafft selber aus zu rechnen.