Finde x1, x2, x3, so, dass das Polynom x_1+x_2Z+x_3Z2+3iZ3 aus den Komplexen Zahlen, die Nullstellen 1-i, -1, …

Question

Aufgabe:

Finde x_1, x_2, x₃ so, dass das Polynom $$ x_1+x_2Z+x_3Z^2+3iZ^3 $$ aus den Komplexen Zahlen, die Nullstellen $$ 1-i, -1, \frac{4}{1-i} $$ hat. Nebenrechnung und Lösungsansatz sind ausführlich anzugeben.

Problem/Ansatz:

Hatte erst den Plan das Polynom irgendwie umzustellen, sodass man die Nullstellen schlicht per Multiplikation mit 0 sicherstellt, das hat aber immer nicht so geklappt wie ich das wollte. Wie genau soll ich diese Aufgabe lösen (am besten ohne LGS)

Danke an alle Antworten.

Answer 1

Ein Polynom mit den 3 genannten Nullstellen wäre

\({(Z-(1-i))}\)·\({(Z+1)}\)·(\(Z-\frac{4}{1-i} \))

multipliziert man das aus und kürzt ein wenig (nutze dafür dass wegen Multiplikation mit dem komplex konjugierten \(\frac{4}{1-i} \)= \({2·(1+i))}\), erhält man

\(Z^{3}\)\({+}\)\({(-2-i)}Z^{2}\)\({+}\)\({(1-i)}Z\)\({+}\)\({4}\)

multipliziert man alles mit \({3i}\) erhält man

\(3iZ^{3}\)\({+}\)\({(3-6i)}Z^{2}\)\({+}\)\({(3+3i)}Z\)\({+}\)\({12i}\)

also sind

\(x_{1}=12i\)

\(x_{2}=1-i\)

\(x_{3}=3-6i\)

die gesuchten \(x_{i}\), wenn ich mich nicht verschrieben oder verrechnet habe. Zumindest scheint WolframAlpha mir zuzustimmen.

Comments

\(\frac4{1-i}=2\cdot(1-i)\) kann nicht sein.

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Da hast du recht, danke. Es hätte \({2(1+i)}\) sein müssen. Habe es berichtigt.

Answer 2

\(\left(Z - (1-i)\right)\cdot\left(Z - ( -1)\right)\cdot \left(Z - \frac{4}{1-i}\right) \)

Comments

\(\cdots+3iZ^3\)