F(x,y) im Punkt (0,0) eindeutig auflösbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion
F(x, y) = cos(x²) + 2x y + sin(y²) − 4x − 1 + y.

Ich soll zeigen, dass F(x, y) = 0 im Punkt(0, 0) lokal eindeutig nach y = h(x) auflösbar
ist.

Problem/Ansatz:

Hier benötige ich doch den Hauptsatz über implizite Funktionen - der ja angibt unter
welchen Bedingungen eine lokale Auflösbarkeit möglich ist.

Aber der ist ja  keine Methode, wie die konkrete Auflösung vollzogen  werden kann, oder?

Wie zeig ich denn dann, dass F(x, y) = 0 im Punkt(0, 0) lokal eindeutig nach y = h(x) auflösbar
ist?

Answer 1

Bedingungen:

Definitionsbereich offen

F : D→ℝ ist stetig differenzierbar auf D

Es gibt ein (x₀,y₀) in D, so dass F(x₀,y₀)=0

F_y(x₀,y₀)≠0

Dann gibt es offene Intervalle I⊆ℝ mit x0∈I und J⊆ℝmit y₀∈J mit I×J⊆D und F_y(x,y)≠0 für alle (x,y)∈I×J.

Weiterhin existiert eine lokale Auflösungsfunktion f: I→J mit F(x,f(x))=0 für alle x∈I.

Weise die Bedingungen nach.