Ist das Gleichungssystem eindeutig auflösbar?

Question

Ist das Gleichungssystem:           x+y^2+z^3=1

xyz=-1

in einer Umgebung des Punktes (1,1,-1) eindeutig nach y und z auflösbar?

Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Danke

Comments

Du sollst den Satz über implizite Funktionen verwenden.

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Falls der Herr Gugel grad mal nicht kann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion

Answer 1

Ich denke, das geht (s. Kommentare) mit dem Satz über die impliziten Funktionen
und zwar so:
betrachte F : IR^3 ---->  IR^2
                 (x,y,z)  → ( x+y²+z³-1  ,   xyz + 1)

und dazu die Jacobimatrix
dF1/dx    dF1/dy   dF1/dz
dF2/dx    dF2/dy   dF2/dz

=

1         2y       3z^2
yz        xz         xy
 
also am Punkt    (1,1,-1)

1         2          3
-1       -1        1
und nun schauen, ob
    2          3
    -1        1
invertierbar ist, und das
ist sie, denn die det ist 2 + 3 = 5 ungleich 0.

Also nach y,z eind. auflösbar.

Answer 2

Nach dem Satz von der impliziten Funktion musst Du die Matrix $$ \begin{pmatrix} F_{1_x} && F_{1_y} && F_{1_z} \\ F_{2_x} && F_{2_y} && F_{2_z}  \end{pmatrix}  $$ berechnen, wenn man \( F(x,y,z) = \begin{pmatrix}  F_1(x,y,z) \\ F_2(x,y,z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  y^2+z^3-1 \\ xyz+1 \end{pmatrix}   \) setzt.

Dann muss geschaut werden ob für \( \begin{pmatrix}  x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) \( F(x_0,y_0,z_0) = 0 \) gilt und ob die Matrix
$$ \begin{pmatrix} F_{1_y}(x_0,y_0,z_0) && F_{1_z}(x_0,y_0,z_0) \\ F_{2_y}(x_0,y_0,z_0) && F_{2_z}(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix} $$ invertierbar ist.